传递函数模型与干预变量模型(很全)

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1、105传递函数模型与干预变量分析时间序列真的仅仅受本身滞后值影响吗？在单变量时间序列中，我们假设系统输出仅仅受既往值和随机干扰项的影响。但实际应用中，可能还有其他与之相关的时间序列，那么如何将其它的变量引入时间序列模型是一个值得讨论的问题。设表示某种商品在一段时间的销售额，由于经济时间序列通常有记忆性，可以用一个ARMA模型来描述其变化规律，假定其变化规律的表达式为但是在许多实际情况下，销售额不仅仅受自己滞后值105105的影响，还会受其它一些输入变量的影响。我们考虑广告费，广告费对销售额的影响不仅具有即期影响还具有一

2、定的滞后效应，假定其滞后的影响是一期，那么在上式中就应加入广告费的当期和滞后一期的值，如果广告费的即期影响效用是0.55，滞后一期值对销售额的影响效用是0.60，则这个简单的输出和输入关系为如果上式是一个适应的模型，那么该模型时刻的输出由三个部分组成，系统时刻的值，时刻输入的和105105，以及与前两部分相互无关的随机扰动项。如果我们用后移算子，可以将模型写成则模型可以写成。这样的模型有什么统计特征，又如何定阶、估计和诊断呢？本讲专门讨论多维时间序列建模的相关问题，但是又与我们通常了解的向量自回归不同，这里一定有一个自

3、变量和若干个解释变量。内容结构为：首先引入了传递函数模型，并讨论了传递函数模型和脉冲响应函数的基本特征和性质，脉冲响应函数与互相关函数的关系105105以及传递函数模型的稳定性。在此基础上介绍了传递函数模型的识别、估计和诊断，并用通过实例分析说明建模的过程。最后引入了干预变量，讨论了干预变量建模的理论和建模过程。第一节传递函数模型的基本概念在以前几章，我们讨论了单变量时间序列分析的建模、估计和诊断有关的问题。但是应用中常常会遇到一个时间序列当期的表现，不仅受自己过去的影响，还与另一个或者多个时间序列相关联，这种线性系统

4、的输出变量与一个或多个输入变量有关，105105描述这种动态系统的模型称为传递函数模型。研究具有一个输入变量的单输出的线性系统，如图1所示。随机干扰动态系统输入变量输出变量图1动态系统图示一、模型的形式105105前面所示模型是两个变量的时间序列模型，从这个模型我们可以看出，输入通过传递函数算子传递到输出上，而随机扰动项又通过算子叠加到输出上，最终输出。又比如传递函数的模型，其含义是对输出的影响效用是，而随机扰动项通过算子叠加到最终输出中。传递函数模型的形式多种多样，但是其构成的机理基本上是一致的。一般的传递函数形式为

5、（1）105105其中、、、为滞后算子的多项式，其阶数依次分别为s、r、q及p。其中参数s和r是和的阶数，描述对影响。q和p是和的阶数，描述随机冲击对的影响；称为延迟参数，即的期滞后值才开始对产生影响。是随机干扰项，，且与105105相互独立。称为传递函数，系统的形成机理可用图2表示。输出105105图2一般传递函数模型的形成机理多变量输入传递函数模型的一般形式为当然这比一个输入系统要复杂得多。二、脉冲相应函数特征由于传递函数是由B的多项式构成，所以对于传递函数的模型来说，只要确定其传递函数部分最重要三个参数、和，10

6、5105传递函数基本情况就了解了。传递函数模型的特征与传递函数的三个参数、和密切相关，为三者的判定提供了工具。设传递函数为（2）由于是有理函数，从理论上讲可以表示为是的无穷高阶多项式的系数称为脉冲响应函数。说明的过去值如何影响系统105105的输出。根据（2）式，有或者再根据待定系数法，比如常数项v0=0一次项v1-v0y1=0，则v1=0二次项v2-y1v1-y2v0，则v2=0105105类推有(3)仔细观察（3）式会发现如下的规律：（1）前个脉冲函数值为零，即，可见我们可以由此来定b；（2）当时，脉冲响应函数有形

7、式105105因为（）是不同的参数，无规律可循，所以这时的s+1个脉冲响应函数也无固定形式；（3）由于的阶数为s，所以，则有时这恰好是一个阶的差分方程，可见当时的脉冲响应函数是该方程的解，所以当时脉冲响应函数呈指数衰减。有个初始响应函数为，且。结合这3点，我们可以得到三个参数、和的值。例如当前面的三105105个脉冲相应函数均为零时，可以确定延迟参数b=3，如果有个5个响应函数无规律，那么，则。三、常见的传递函数的形式为了加深对脉响应函数的理解，我们讨论几个多项式阶数不高的，常见的传递函数的情形。1.的情形表1情形的脉

8、冲响应函数表105105传递函数脉冲响应函数（2，0，0），（2，0，1），，（2，0，2），，2.的情形在这个情况下，当s=0时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减；当s=1105105时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减；当s=2时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减，有表2的情形的脉冲响应函数表（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，1，1