高亏格膜泡形状的数值计算

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1、计算物理第26卷第5期CHINESEJ0URNAL0FCOMPUTATIONALPHYSICSVo1．26．No．52009年9月SeD．．20o9[文章编号]1001．246X(2009)05．0763—04高亏格膜泡形状的数值计算解立强(甘肃民族师范学院物理系，甘肃合作747000)[摘要]通过对Willmore区域外，特别是中等及较小约化体积下的形状及其演化进行深入细致的研究，发现在这一区域的形状要远比原有的猜测丰富，亏格g=2的膜泡会展现出比已有结果更多迷人的形状并出现新的膜泡相变分支．同时，数值计算的结果更加期待实验验证，从而为曲率模型的正确性提供有力支持．[关

2、键词]高亏格膜泡形状；曲率模型；对称性；相变[中图分类号]Q739[文献标识码]A0引言磷脂双性分子在低浓度的溶液中可自发的形成双层膜或者闭合的膜泡．实验上，可以按照膜泡的数学拓扑结构进行分类．如实验上观察到的大量的拓扑亏格为g：0的球形拓扑膜泡，g=1的环形膜泡，以及g≥2的膜泡。．将生物膜看成一个光滑的二维曲面，物理学家基于弯曲弹性能决定形状的假设，利用曲率模型对膜泡的形成进行了合理的解释．Canham基于人类正常红细胞所呈现的特殊双凹盘形最早提出了生物膜的曲率能模型．该模型中，膜泡单位面积上的能量正比于(2日)，其中日为曲面的平均曲率．考虑双层膜泡两侧环境的不对称性

3、，Helfrich提出了自发曲率模型(SC．mode1)1rrrsc=寺Jj}l(Cl+C2一C0)dA+ApfdV+IdA，(1)厶√√J其中dA和d分别为曲面的面积元和体积元，k为弹性模量，c。和C：为曲面的两个主曲率，c。为自发曲率．拉格朗日乘子△P为膜泡外部与内部的压力差，为膜泡表面张力．平衡状态膜泡的形状由(1)式能量泛函的最小值决定．由于曲率能具有标度不变性，A和只有一个变量是独立的，引入约化体积=3V／(4rcR；)和约化自发曲率c。=c。R。来描述不同的形状，其中R。=4-A／4rc为约化半径．通过对方程(1)式作变分，要求能量的一阶变分“’F=0，欧阳得

4、到了平衡形状的普遍方程△P一22H+k(2H+C0)(2H一2K—C0H)+2H=0，(2)其中V。为曲面拉普拉斯算子，=(c。+c：)／2为平均曲率．方程(2)是一个高阶非线性偏微分方程，要得到其通解非常困难，至今为止，只有文[6]对柱面型通解进行了讨论并得到了一类周期性柱面，其它一些特解包括球形解，红血球解、克利福德锚环解和Delaunay曲面及其扩展解，比较复杂的结果通过数值计算得到“J．基于双层膜两侧分子的不可交换性，即双层膜两侧分子的有效面积差为定值，S．Svetina等人提出了双层曲率模型(BC．mode1)n．该模型下膜泡的能量泛函为1FBc=1(Cl+C2

5、)dA+△PdV+三dA+Q，(3)厶J√J其中M：m／(4rt)：HdA／(4r~)为约化平均曲率积分，和Q为拉格朗日乘子．通过对方程(3)式作变分，J将得到Bc模型中的膜泡形状方程．此模型下，膜泡的形状由约化体积和约化平均曲率积分ml(47t)决定．如果进行变换[收稿日期]2008—05—08；[修回日期]2009—01—09[作者简介]解立强(1981一)，男，山东滨州，讲师，从事生物物理学方向研究计算物理第26卷=+kC2o／2，Q=一2kC0，(4)我们将发现Fsc=FBc．(5)上式说明sc模型和Bc模型有相同的形状方程．所以sc模型和Bc模型具有相同的解集．

6、但是计算表明，两者相图不同，sc模型中往往发生不连续相变，BC模型中则常常为连续相变．本文的讨论限于BC模型．在已给出的拓扑亏格g：2的一m／(4~)相图n中，明确地标注了Willmore区域(阴影部分w)及边界，阴影部分是Willmore曲面族，具有相同的能量．w区域外为预测的三种可能存在的膜泡，其对称性分别为D：，c和D，．由图1可以看出，在边界cBs'cIs，C。上，他们对应着Willmore区域外的连续相变．同时也对Willmore区域外的可能相图进行了预测(图1虚线)．图1粗略地给出了在Willmore区域外大致的相变曲线以及各个区间内形状的对称性．其中具有D对

7、称性的双球壳结构已被实验上观察到．通过对Willmore区域外，特别是中等及较小约化体积下的形状及其演化进行深入细致的研究，我们发现，这一区域的形状要远比以上的猜测丰富，形状之间的演化也要比图1复杂的多．对于以往实验上观察到的较低m值的球壳形状，发现增大m／(47c)值，其形状图1BC模型下的拓扑亏格g=2膜泡相图的演化与以往的预言并不一致，有新现象出现．我们找Fig·1Phasediagramforgenus2到了具有C对称性的膜泡形状，通过Hessian矩阵进ickshape。inBCm。de行稳定性分析，它也是能量方程的