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《离散分布收入数据基尼系数的矩阵向量形式及相关问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2007年第4期离散分布收入数据基尼系数的3矩阵向量形式及相关问题金成武 内容提要:本文旨在给出离散分布收入数据基尼系数的很一般的矩阵向量形式,并以此为基础,在一般的意义上讨论基尼系数的按组分解及按类分解问题。本文的结论是,借助矩阵向量形式,我们可以确切地说明基尼系数“完全分解”的含义,更直观地表述目前已有的各种并组或并类基尼系数按组或按类分解的意义,简洁地揭示它们内在的数理结构;通过矩阵向量的运算法则,我们可以直接发现,不可能一般性地实现并组或并类基尼系数按组或按类“完全分解”,且使分解后各项均有明确的经济意义;除非进一步给出特殊假定,各种分解的运算量与直接计算并组或并类
2、基尼系数的运算量是相当的。关键词:基尼系数 矩阵向量形式 按组分解 按类分解一、引 言关于表征不均等程度的基尼系数的研究早已成为收入分配研究中的重要内容。徐宽(2003)对基尼系数的相关文献做了非常全面的综述。尽管学术界已经对基尼系数的按组或按类分解的“完全性”给出了否定的答案(Cowell,2000),仍然不鲜有学者进行新的尝试。他们的做法通常是,引入较特殊假定,并尽可能为分解后的各项赋予直观的经济意义。众多做法在程永宏(2006)文中有较详细的评介,同时该文也给出了连续数据基尼系数按两组分解的一种新的形式。研究基尼系数按组或按类分解的各种方法的初衷似乎是,定量地把握全局基
3、尼系数与局部基尼系数的关系,判断全局基尼系数主要受哪些局部基尼系数的影响;同时,由于分解与合成互为逆运算,利用分解方法我们可能利用已知的各局部基尼系数算出全局基尼系数,并在保证一定精度的①条件下寻求某种可能减少运算量的计算方法。然而,一个似乎较为迫切的需要是,在讨论或设计某种分解方案前,我们应该在很一般的意义上把握基尼系数的数学形式并从数学形式上把握基尼系数“分解”的内涵,从而在我们努力做分解时,拥有一个大的理论背景,而不致于“只见树木,不见森林”。很典型的情况是,许多提出基尼系数分解方案的文献并没有事先明显地说明基尼系数“完全分解”的确切意义;并且,关于分解方案中余项的产生
4、原因及其内在的数学结构也介绍得较少。本文认为,明确地说明“完全分解”的意义并弄清余项的产生原因及其数学结构是进一步研究新分解方案的基础。基于此,本文从基尼系数简洁而一般的数学形式———矩阵向量形式入手,探讨基尼系数的一些很一般性的问题。在本文中,我们只探讨离散分布收入数据的基尼系数。现实中我们所获得的收入数据一般都是离散分布的。收入连续分布的假设其实是出于便利目的的近似。同时,探讨离散分布数据也是3 金成武,中国社会科学院经济研究所,邮政编码:100836,电子信箱:jincw@cass.org.cn。作者感谢各位匿名审稿人宝贵的意见。文责自负。① 即使在计算机使用高度普及、
5、计算机性能大大增强的今天,计算方法的简化仍有现实意义。149金成武:离散分布收入数据基尼系数的矩阵向量形式及相关问题我们探讨连续分布数据的基础。根据Fei和Ranis(1974)以及Fei、Ranis和Kuo(1978),还有Sen(1997)、Champernowne和Cowell(1998)的定义,离散分布收入数据的基尼系数可表示为nnn12n+1①G=2Sn∑∑
6、xj-xh
7、=Sn∑iyi-nj=1h=1i=1其中,n为个体数;xj为个体j的收入水平,
8、xj-xh
9、为任意两个个体的收入水平之差的绝对值(j,h=1,2,⋯,n);对所有个体的收入水平按由低到高的次序进行排
10、序,得到一个新的收入序列:y1nn≤y2≤⋯≤yn;S=∑xj=∑yi,为所有个体的收入之和。j=1i=1T②T③我们定义以下四个n维列向量:n=(12 ⋯ n),in=(11 ⋯ 1),以及收入数据TT向量x=(x1x2 ⋯ xn)和y=(y1y2 ⋯ yn)=Qx,其中Q是一个n阶初等方阵,它使得nT④1iny0y1≤y2≤⋯≤yn。令€y=SPn=n∑yi=n;令In为n阶单位阵,并定义n阶方阵Mn=In-i=1n1T⑤n+12€yinin。由于=i,基尼系数可重新表示为:nnSni∑=1nnnT022€y22nMnyG(y)=iyi-i=i(yi-€y)=(1)Sni
11、∑=1Sni∑=1Sni∑=1Sn 如果我们采用未排序的数据形式,则基尼系数可表示为T02nMnQxG(y)=G(Qx)=(1′)Sn 更一般地,如果已有收入数据存在打结(ties)情况,设原始收入数据中共有l种不同的水平,它T们对应的数据向量为w=(w1w2 ⋯ wl);第k种收入水平在原始数据中出现的次数(即每种l水平的频数)为ωk(k=1,2,⋯,l),且n=∑ωk;定义n3l矩阵(l3l分块矩阵)DŽl=k=1iω1iω2,则显然DŽlw相当于式(1′)中的x,QDŽlw相当于式(1)中的y
