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1、浅谈数列在高中数学的解题思路与技巧楚雄师范学院数学系08级2班张永辉摘要：数列是高中数学的重要内容之一，它与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中。关键词：数列通项公式数列求和解题思路解题技巧众所周知，数列是高中数学的重要内容之一，也是中学数学联系实际的重要渠道之一。数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧在中学数学中都有十分重要的地位。因此，笔者根据自己对数列的
2、理解与认识，现对数列中的两个特征：数列的同项公式和数列的前n项和公式的解题技巧进行归纳和总结，希望能够给读者带来帮助，对数列有更深刻的认识。在我看来，数列无非是数列的定义、通项公式、数列的前n项和（即数列求和）、等差数列、等比数列以及数列在现实生活中的应用，它们之间的关系可以由下图表示出来：在这些内容中，数列的定义和有关概念是数列的基础，通项公式是数列的灵魂，等差（比）数列是数列的核心，数列求和是数列应用的前提，而数列的应用是数列学习的目的。数列问题以其多变的形式和灵活的解法而倍受青睐，研究数列的通项公式是研究数列的基本问题之一，现就对数列的通项公式的几种常见的求法和技巧以及数列求和进行归纳和
3、总结.第1页（共11页）第一部分：几种常见的求数列通项公式的方法方法一：观察法例1：分别写出下面数列{a}的一个通项公式，使它前4项分别是下列各数。n（1）1，2，1，2，…an=；（2）1，3，5，7，…an=；（3）3，33，333，3333，…an=；3n1⎧1,n=2k+1【解析】（1）an=+(−1)⋅或an=⎨22⎩2,n=2k−1（2）a=2n−1n1n（3）a=(10−1)n3【小结】从各项共性的结合特征入手，通过观察、归纳、猜想总结出数列的通项公式，即为观察法.方法二：由S求a法nn⎧S1n=1题型一：由Sn=f(n)，求an.有an=⎨S−Sn≥2⎩nn−12例2:在数列{
4、a}中,S表示其前n项和,且S=n,求通项a.nnnn【解析】①当n=1时,a=S=1;1122②当n≥2时,a=S−S=n−(n−1)=2n−1(n≥2)nnn−1又Qa=1=2×1−1满足a=S−S=2n−1,1nnn−1所以a=2n−1(n≥1)n题型二:由S=f(a),求a.可以得到S=f(a),然后两式相减,即可求得a.nnnn−1n−1n例3:在数列{a}中,S表示其前n项和,且S=2−3a,求通项a.nnnnn【解析】由S=2−3a①nn可得:S=2−3a②n−1n−1由①−②可得:S−S=a=−3(a−a)(n≥2)nn−1nnn−1第2页（共11页）a3n整理可得:4a=3a
5、即=(n≥2)nn−1a4n−113所以数列{a}是以a=为首项,为公比的等比数列,n124n−11⎛3⎞故数列{an}的通项公式为:an=×⎜⎟2⎝4⎠【小结】由S求a法时,其解题思路是首先由S的表达式的到S的表达式,然后nnnn−1将这两个式子相减,并且一定要验证a是否适合a,若适合,则合二为一;若不适合,1n则应将a写成分段函数的形式.n方法三：构造法若题目特征符合递推关系式a=A,a=Ba+C(A、B、C均为常数，1n+1nB≠1,C≠0)时，可用构造等比数列的方法求数列a的通项公式。即由nCa=Ba+C得：a+m=B(a+m)（其中m=），从而得到数列n+1nn+1nB−1⎧C⎫⎨a
6、n+⎬是以B为公比的等比数列。⎩B−1⎭例4：已知数列{a}满足a=4,a=3a−2，求数列通项a.n1nn−1na−1a−=a−n3【解析】由an=3an−1−2可得:n13(n−11),即=.a−1n−1所以数列{a−1}是以a−1=3为首项,3为公比的等比数列,由等比数列的通n1n−1n项公式可得:a−1=3×3=3.nn所以数列{a}的通项公式为:a=3+1nn【小结】用构造法求数列的通项公式的思路就是将所给数列递推关系式适当变形后,构造出一个新的等比数列.解题的关键有两点:一是所给数列的递推公式所必须具备的特征;二是快速准确的求出待定系数m.方法四：叠代法题型一：若题目特征符合递推关
7、系式a=A(A为常数),a=a+f(n)时,可1n+1n用叠加法求解数列的通项公式.第3页（共11页）n例5:在数列{a}中,a=3,a=a+2,求数列通项a.n1n+1nnnn【解析】由a=a+2可得:a−a=2,则有:n+1nn+1n1⎧a−a=221⎪2a−a=2⎪32⎪3⎨a4−a3=2将这n−1个等式相加,得:⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪n−1⎪a−a=2⎩nn−1n−1a−a=21+22+23+⋅
