2012年高考数学冲刺_最重要的几个专题_二次函数综合问题-高考必考！

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1、二次函数综合问题例谈北京中国人民大学附中梁丽平陕西省咸阳市永寿中学安振平二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础.因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出

2、现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1.代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.1.1二次函数的一般式中有三个参数.解题的关键在于：

3、通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1　已知，满足1且，求的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和当成两个独立条件，先用和来表示.解：由，可解得：（*）将以上二式代入，并整理得　　　　　,∴.又∵，,∴.例2设，若，，,试证明：对于任意，有.分析：同上题，可以用来表示.解：∵,∴,∴.∴当时，当时，综上，问题获证.1.2利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式例３　设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.分

4、析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.证明：由题意可知.,∴,∴当时，.又,∴,综上可知，所给问题获证.1.3紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力例4已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。解：(1)(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以，于是即（3）.设，则.问题转化为：对恒成立.即对恒成立.（*）故必有

5、.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，解之得：.此时，，故在取得最小值满足条件.2.数形结合二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等.结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.2.1二次函数的图像关于直线对称，特别关系也反映了二次函数的一种对称性.例5设二次函数，方程的两个根满足.且函数的图像关于直线对称，证明：.解：由题意.由方程的两个根满足,可得且,∴，即，故

6、.2.2二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根.所以存在实数使得且在区间上，必存在的唯一的实数根.例6已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设，则的二根为和.（1）由及，可得，即，即两式相加得，所以，;（2）由,可得.又，所以同号.∴，等价于或,即或解之得或.2.3因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶

7、点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.例7已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数.确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.解：由题意知：，∴，∴.由时，有，可得.∴,.（1）若，则在上单调，

8、故当时，∴此时问题获证.（2）若，则当时，又，∴此时问题获证.综上可知：当时，有.