2019年高考数学复习函数导数及其应用第12节定积分与微积分基本定理学案理北师大版

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1、第十二节　定积分与微积分基本定理[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．(对应学生用书第42页)[基础知识填充]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi(i＝1,2，…，n)，作和式s′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数A．我们称常数A叫作函数f(x)

2、在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝f(ξi)．(2)有关概念在f(x)dx中，叫作积分号，a与b分别叫作积分下限与积分上限，函数f(x)叫作被积函数．(3)定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线x＝a，x＝b，x轴及曲线y＝f(x)所围曲边梯形的面积f(x)＜0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质(1)1dx＝b－a；(2)kf(x)

3、dx＝kf(x)dx(k为常数)；(3)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

4、，即f(x)dx＝F(x)

5、＝F(b)－F(a)．[知识拓展]　函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若

6、f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　)(3)若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)(4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．(

7、教材改编)已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)A．10t　　B．5t　　　　C．t　　　　D．tB　[S＝∫vdt＝10tdt＝5t2＝5t.]3.e

8、x

9、dx的值为________．2e－2　[e

10、x

11、dx＝e－xdx＋exdx＝－e－x＋ex＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2.]4．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．　[如图，阴影部分的面积即为所求．由得A(1,1)．故所求面积为S＝(x－x2)dx＝＝.]5．若x2dx＝9，则常数T的值为_

12、_______．3　[∵x2dx＝T3＝9，T＞0，∴T＝3.](对应学生用书第43页)定积分的计算　计算下列定积分．(1)(x2＋sinx)dx；(2)

13、1－x

14、dx；(3)(x2tanx＋x3＋1)dx.[解]　(1)(x2＋sinx)dx＝x2dx＋sinxdx＝2x2dx＝2·＝.(2)

15、1－x

16、dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝＋＝－0＋－＝1.(3)∵x2tanx＋x3是奇函数，∴(x2tanx＋x3＋1)dx＝ldx＝x＝2.[规律方法]　1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分.(2

17、)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分.(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.2.根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分.[跟踪训练]　(1)(2018·江西九校联考)(2x＋)dx＝________.【导学号：79140091】(2)设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．(1)1＋　(2)　[(1)∵dx等于半径为1的圆面积的，∴(2x＋)dx＝2xdx＋dx＝x2＋π×12＝1＋.(2

18、)∵f(x)＝∴f(x)dx＝x2dx＋dx＝＋lnx＝＋lne＝.]定积分的几何意义　(1)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)定义min{a，b}＝设f(x