2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理学案理

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1、2．12　定积分与微积分基本定理[知识梳理]1．定积分的概念2．定积分的几何意义3．定积分的性质4．微积分基本定理5．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S.6．定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．[诊断自测]1．概念思辨(1)在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x

2、＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝

3、f(x)

4、dx.(　　)(2)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2．教材衍化答案　D(2)(选修A2－2P67T7)直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为(　　)A.B．9C.D.答案　C解析　由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为(3x－x2)dx＝

5、＝×3×3－×3×3×3＝×3×3×3＝.故选C.3．小题热身答案　B答案　D题型1　定

6、积分的计算　　(2017·广州质检)定积分

7、x2－2x

8、dx＝(　　)A．5B．6C．7D．8被积函数中含有绝对值，可表示为分段函数后再求积分．答案　D解析　∵

9、x2－2x

10、＝∴

11、x2－2x

12、dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝

13、＋

14、＝8.故选D.　　求和的积分，可转化为求积分的和．答案　　　本题应用转化法．答案　方法技巧求定积分的常用方法1．微积分基本定理法：其一般步骤为：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商．(2)把定积分用定积分性质变形

15、为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．(5)计算原始定积分的值．2．用定积分的几何意义求：将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值．如典例3.3．用定积分的基本性质求：对绝对值函数，分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解．冲关针对训练1．(2014·江西高考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)A．－1B．－C.D．1答案　B解析　令f(x)dx＝m，则f(x)＝x2＋2m，所以f(

16、x)dx＝(x2＋2m)dx＝

17、＝＋2m＝m，解得m＝－，故选B.2．若S1＝x2dx，S2＝，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)A．S1

18、17·北京东城区检测)如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等，则x0＝________.本题应用方程思想．答案　角度3　与其他知识的交汇命题　　(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．本题应用数形结合思想方法．答案　方法技巧1．利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根

19、据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．(4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．知图形的面积求参数．求解此类题的突破口是画图，一般是先画出它的草图，然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．见角度2典例．3．与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．见角度3典例．冲关针对训练1．(2018·河北衡水中学三模)

20、由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是(　　)A.　　　　　　　B.＋C.D.＋1答案　B2．(2018·洛阳统考)若

21、x－5

22、dx＝25，则(2x－1)n的二项展开式中x2的系数为________．答案　180①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x