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1、波利亚及其解题理论主讲人:李忠如西南大学数学与统计学院波利亚(1887.12.13-1985.9.7)波利亚(1887-1985)的生平美国著名数学家、教育家。出生于匈牙利的布达佩斯。早在中学时代，就显示出卓越的数学才能，曾先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和哲学。1912年在布达佩斯获约特沃斯·洛伦得大学哲学博士学位。1914年，在苏黎世瑞士联邦理工学院任教,1928年任教授，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，先在布朗大学任教。1942年后一直在斯坦福大学任教。1953年起，任该校退休教授。波利亚(1887-1985)的生平波利亚在众多的数学
2、分支：函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算数学和应用数学领域中都颇有建树，共发表200多篇著名论文，以他的名字命名的波利亚计数定理则是近代组合数学的重要工具。波利亚还是杰出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。为了表彰波利亚对数学的杰出贡献，1963年美国数学协会授予他以功勋奖(DistinguishedServicesAward),1968年美国教育电影图书协会授予他以数学物理最高荣誉奖(TopHonorofMathematicsandPhysics)。他并先后当选为美国国家科学院院士和法国科学院通讯院士等。波利亚(1887-19
3、85)的生平波利亚的重要数学著作有《怎样解题》、《不等式》(与哈代、李特伍德合著)、《数学的发现》多卷、《数学与猜想》多卷、《数学分析中的问题和定理》(与塞格合著)、《数学物理中的等周不等式》(与塞格合著)等。<怎样解题表>弄清题意拟定计划执行计划检验回顾变换,推广,类比,作出新的数学发现.概括方法论因素,建立数学模型.弄清题意1)已知是什么?2)未知是什么?3)题目要求你干什么?4)可否画一个图形?5)可否数学化?拟定计划(核心)6)你能否一眼看出结果?7)是否见过形式上稍有不同的题目?8)你是否知道与此有关的题目,是否知道用得上的定义,定理公式?9)有一个与你现在的题目有关
4、且你已解过的题目,你能利用它吗?10)已知条件A,B,C……可否转化?可否建立一个等式或不等式?11)你能否引入辅助元素?12)如果你不能解这个题,可先解一个有关的题,你能否想出一个较易下手的,较一般的,特殊的,类似的题?执行计划13)把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式子表述出来.14)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案.15)解题要求是:严密具有逻辑性.检验回顾16)你能拟定其它解题方案吗?17)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它的方法吗?18)你能找到什么方法检验你的结果吗?数学究竟是由什么组成的？“问题是数学的心脏.”——P．R．Halmos“最有吸
5、引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题.”——Minkowski某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不容否认的．只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、更自由的境界.——希尔伯特(1900)解题是数学的特点“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题．”——杨辉“从来没有像现在这样，美国人需要
6、为生存而思考，他们需要进行数学式的思维．”——美国数学科学委员会(1989)学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数学水平)才有长进．此外，还需揣摩成局(学习定理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻的数学思想)——单墫解题是数学的特点做习题并不只是在学完一个方法或一些知识之后．知识、方法应当尽可能地通过问题的形式引人．解题是数学的特点例1：一大学教授向中学生介绍图论定义 图G=(V，E)，由顶点集V与一些连结V中两个点的边的集E组成．定义如果E由连结V中每两个点的边组成，那么G＝(V，E)称为完全图．定义 如果图G1＝(V
7、，E1)，G2＝(V，E2)具有相同的顶点集V，并且E1∩E2＝，(V，E1∪E2)是完全图，那么称G1为G2的补图．定理 在
8、V
9、≥6时，G=(V，E)或它的补图中必有三角形．解题是数学的特点符合中学生特点的教法：“任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互不相识．为什么？”为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六个点表示六个人．如果两个人互相认识，就将相应的两点用线连结起来．这种由点及一些连结点的线组成的图形，就称为图．问题就成为：“六个点的图中，一定有三个点两两相连(即构成三角形)，或
