波利亚数学解题

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1、第一部分在教室中目的1.帮助学生教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合理的工作。如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并

2、且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。2•问题、建议、思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中，我们总是问：未知数是什么？我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问

3、题和建议，并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。3.普遍性表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个

4、严肃的问题或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题。事实上，还存在一个限制，不过这与论题无关。表中某些问题与建议，只能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，则必须采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段。3.常识我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看着未知数！试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题这条建议不管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体的劝告。你是不是肚

5、子饿了？如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到食物的一些办法。你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形，你也会想起你所熟悉的一些作三角形的办法你是否有一个任意的问题？你若希望找出某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路行动的人往

6、往不注意用明确的语言来表达其行动而且他可能根本不会这样做；我们这张表却尝试去表达这些。4.教师与学生，模仿与实践当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。此表有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然，学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功，他

7、就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功，他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师可以做些什么事呢？解题，譬如，就

8、好象游泳一样，是一种实际技能。当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动