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《中心差分解两点边值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、.一．题目用中心差分格式计算如下两点边值问题已知其精确解为二．理论作为模型，考虑两点边值问题：…………（1.1）…………（1.2）假定是给定的常数。1.建立差分格式（1）.区域网格剖分首先取个节点：将区间分成个小区间：于是得到区间的一个网格剖分。记，称为网格最大步长。用表示网格内点，，，的集合，表示内点和界点的集合。取相邻节点的中点，称为半整数点。则由节点又构成的一个网格剖分，称为对偶剖分。（2）.微分方程的离散，建立相应差分格式用差商代替微商，将方程（1.1）在内点离散化.注意对充分光滑的，由Taylor展式有………（1.3）..………（1.5）由（1.5）减（1.4），并除以，得…
2、………（1.6）令则由（1.3）（1.6）知，边值问题的解满足方程：…………（1.7）其中…………（1.8）为差分算子的截断误差，舍去，便得逼近边值问题（1.1）（1.2）的差分方程：…………（1.9）i=1,2,…,N-1，由方程（1.7）（1.9），截断误差可表示为..…………（1.10）当网格均匀，即时差分方程（1.9）简化为…………（1.11）这相当于用一阶中心差商，二阶中心差商依次代替（1.1）的一阶微商和二阶微商的结果。这个方程就是中心差分格式。截断误差为：…………（1.12）所以截断误差按或的阶为。在本题中，，，，，因为r=0方程（1.11）的系数对角矩阵是三对角矩阵。我
3、们可以用消元法或迭代法求解方程组（1.1）（1.2）式（1.11）用方程组展开：..写成矩阵形式为：2.收敛性分析根据（1.10）我们引进误差则误差函数满足下列差分方程：于是收敛性及收敛速度的估计问题，就归结到通过右端（截断误差）估计误差函数的问题。由（1.12）我们知，有从而差分方程满足相容条件。若引进记号，，，，，设则可将（1.9）改写为..将差分解表成…………（2.1）其中满足…………（2.2）而满足…………（2.3）先估计，由…………（2.4）据差分格林公式再利用柯西不等式，有常数使…………（2.5）将不等式（2.6）用于（2.5）右端，则…………（2.6）解差分方程（2.2，
4、易得）从而..这样，…………（2.7）利用范数，从（2.7）推出…………（2.8）因为因此…………（2.9）联结（2.1）（2.7）及（2.9）即得差分解的先验估计：…………（2.10）其中不等式（2.10）说明差分解连续依赖于右端和边值，因此差分格式（1.11）关于右端及边值稳定.根据定理1.1：若边值问题的解u充分光滑，差分方程按满足相容条件且关于右端稳定，则差分解按收敛到边值问题的解，且有和相同的收敛阶。所以差分方程的解的收敛速度为。..三．程序代码：clcclfclfsymsx;a=1;%区间界点b=2;%区间界点p=exp(x);%这是p函数q=sin(x)+1+x;%这是q
5、函数f=-exp(x)*(2*x+1)+(sin(x)+1+x)*x*(x-1);%这是f函数r=0;%这是r函数.N=10;%将区间划分的等分,这里控制！h=(b-a)/N;%这里确定步长value_of_f=zeros(N-1,1);%这是fdiag_0=zeros(N-1,1);%确定A的对角元diag_1=zeros(N-2,1);%确定A的偏离对角的上对角元diag_2=zeros(N-2,1);%确定A的偏离对角的下对角元X=a:h:b;u_a=0;%边界条件u_b=2;%边界条件forj=2:Ndiag_0(j-1)=((subs(p,{x},{(X(j+1)+X(j))
6、/2}))+(subs(p,{x},{(X(j-1)+X(j))/2})))/(h^2)+(subs(q,{x},{X(j)}));end%获取对角元素forj=3:Ndiag_2(j-2)=-((subs(p,{x},{(X(j-1)+X(j))/2})))/(h^2)-subs(r,{x},{X(j)})/(2*h);end%获取A的第三条对角forj=2:N-1diag_1(j-1)=-((subs(p,{x},{(X(j+1)+X(j))/2})))/(h^2)+subs(r,{x},{X(j)})/(2*h);end%获取A的第二条对角forj=2:N;value_of_f(
7、j-1)=subs(f,{x},{X(j)});end%获取F值value_of_f(1)=value_of_f(1)+u_a*(subs(p,{x},{(X(2)+X(1))/2}))/(h^2);value_of_f(N-1)=value_of_f(N-1)+u_b*(subs(p,{x},{(X(N)+X(N+1))/2}))/(h^2);A=diag(diag_0)+diag(diag_1,1)+diag(diag_2,-1);%组装系
