两点边值问题的差分求解__课程设计

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1、两点边值问题的差分求解摘要：本文给出了一种二阶微分方程的差分格式，通过Taylor级数展开给出其截断误差，数值例子验证了其误差。关键词：有限差分方法，两点边值问题，泰勒级数展开1.引言考虑二阶常微分方程边值问题：①最简型：②变系型③守恒型其中上的连续函数，和为给定的常数。2.格式推导①网格剖分（区域剖分）取空间步长为，其中N为整数。用直线，将区间分割成网格，网格节点为。②截断误差（Taylor级数展开）在处有：将，在点Taylor展开令，由，得：(6)式+(7)式，得：由此可得：其中表示方括号内的函数在点取值。于是

2、方程（1）可以写成：其中即为截断误差。③差分格式（差分方程+定解条件）当h是足够小时，是h的二阶无穷小量，舍去可得差分方程：用数值解代替精确解，并给定方程的边值条件，可得如下差分格式：④格式求解可将差分格式改写为矩阵形式：其系数矩阵为：1.数值实验以如下方程为例：该问题的精确解为：将作N等分，Matlab程序求出4个结点处的精确解和取不同步长所得的数值解如表1所示；表2给出了这些结点处取不同步长时所得数值解和精确解差的绝对值；表3给出了取不同步长时所得数值解的大误差；图1给出取不同步长时所得数值解的误差曲线图。hx

3、π/8π/4π3/8π/2π/80.5302666780044581.4769078545821052.8904724669013884.670383463077574π/160.5575815230009981.5323253912848552.9732612091361384.775437842498060π/320.564450501580948　1.546239830685709　2.994012559457496　4.801716796879448　π/640.5661702382846571.54972

4、21120376452.9992036080894514.808287196123813表1部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解　0.20.40.60.8π/80.0364770267775140.0739753423359200.1104617720891270.140093917887778π/160.0091621817809740.0185578056331710.0276730298543760.035039538467291π/320.0022932032010240.0046433662323

5、160.0069216795330180.008760584085904π/645.734664973148229e-040.0011610848803800.0017306309010630.002190184841539精确解0.566743704781972　1.550883196918026　3.000934238990515　4.810477380965351　表2不同步长下部分节点处数值解的误差的绝对值hπ/80.153198983646914π/160.038238096454454π/320.009

6、555226076214π/640.002388530748541表3不同步长时数值解的最大误差图1取不同步长时所得数值解的误差曲线图1.结论由表1，表2对比可知，数值解与精确解高度越接近，由图1可知步长对误差的影响，因此我们可以认为本文接近二阶常微分方程的查分格式。参考文献：[1]孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,2005.[2]李荣华.偏微分方程数值解法[M].北京:高等教育出版社,2005.[3]刘卫国.MATLAB程序设计教程[M].北京:中国水利水电出版社,2005