3-4函数的单调性与极值

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1、第三章第四节函数的单调性与极值一、函数的单调性二、函数的极值及求法三、函数的最大最小值机动目录上页下页返回结束一、函数的单调性yyABy=f(x)y=f(x)ABoabxoabxf′(x)≥0f′(x)≤0事实上，由导数的定义和极限的保号性，我们可以严格证明：定理1（单调的必要条件）：若f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加（减少），在(a,b)内可导，则对任意的x∈(a,b)，有f′(x)≥0(f′(x)≤)0。机动目录上页下页返回结束定理2（单调的充分条件）设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。（1）如果在(a,b)内f′(x)>0

2、，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；)2(如果在(a,b)内f′(x)<0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。定理中的[a,b]换成其它类型的区间（包括无穷区间），结论也成立。机动目录上页下页返回结束证∀x1,x2∈(a,b),且x1,021若在(a,b)内，f′(x)>,0则f′(ξ)>,0∴f(x)>f(x).∴y=f(x)在[a,b]上单调增加.21若在(a,b)内，f′(x)<,0则f′(ξ)<,0∴f(x)

3、=f(x)在[a,b]上单调减少.21机动目录上页下页返回结束x例1讨论函数y=e−x−1的单调性.xy=e−1x解Qy′=e−.1又QD(:−∞,+∞).在(−∞)0,内,y′<,0∴函数单调减少；xy=e−x−1在,0(+∞)内,y′>,0∴函数单调增加.注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．机动目录上页下页返回结束说明：1.此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条件，而不是必要条件。3例如:y=x,y′x=0=,0但在(−∞,+∞)上单调增加.=3′但在(−∞,+∞)

4、上单调增加.又例:yx,y

5、x=0不存在,2.函数在定义区间内个别点的导数为零或导数不存在,不影响区间的单调性。方法：用导数为零或导数不存在的点来划分定义区间，就能保证函数的导数在各个部分区间内保持固定的符号，从而使函数在各个部分区间上单调。机动目录上页下页返回结束定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:用方程f′(x)=0的根及f′(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，然后判断区间内导数的符号.机动目录上页下页返回结束32例2确定函数f(x)=2x−9x+12x

6、−3的单调区间.解QD(:−∞,+∞).2f′(x)=6x−18x+12=(6x−1)(x−)2解方程f′(x)=0得，x1=,1x2=.2当−∞,0∴在(−∞]1,上单调增加；当1,0∴在,2[+∞)上单调增加；单调区间为(−∞]1,，]2,1[，,2[+∞).机动目录上页下页返回结束32例3确定函数f(x)=x的单调区间.解QD(:−∞,+∞).2f′(x)=,(x≠)033x32y=x当x=0时,导数不存在.当−∞

7、(−∞]0,上单调减少；当0,0∴在,0[+∞)上单调增加；单调区间为(−∞]0,，,0[+∞).机动目录上页下页返回结束例4当x>0时,试证x>ln(1+x)成立.证设f(x)=x−ln(1+x),f)0(=,0xf′(x)=.1+xQf(x)在,0[+∞)上连续,且,0(+∞)可导，f′(x)>,0∴在,0[+∞)上单调增加；∴当x>0时，x−ln(1+x)>,0即x>ln(1+x).机动目录上页下页返回结束11例5当x>0时,试证ln(1+)>成立.x1+x111证设f(x)=ln(1+)−=ln(1+x)−lnx−x1+x1

8、+x111−1f′(x)=−−=<0221+xx1(+x)x1(+x)∴f(x)单减又因为limf(x)=0x→+∞11则x>0时，f(x)>0即ln(1+)>.x1+x机动目录上页下页返回结束2−xx例6试证e+sinx<1+0(

9、sinx<1+0(