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《2019届高考数学复习复数算法推理与证明课堂达标58直接证明与间接证明文新人教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课堂达标(五十八)直接证明与间接证明[A基础巩固练]1.(2018·太原模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )A.不成立 B.成立C.不能断定D.与n取值有关[解析] 因为Sn=2n2-3n,所以n=1时a1=S1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1时适合an,且an-an-1=4,故{an}为等差数列,即命题成立.[答案] B2.(2018·宁波模拟)分析法又称执果索因法,若用分析
2、法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0[解析] 0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.[答案] C3.(2018·上饶月考)设x,y,z>0,则三个数+,+,+( )A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2[解析] 因为+
3、+=++≥6,当且仅当x=y=z时等号成立.所以三个数中至少有一个不小于2,故选C.[答案] C4.(2018·山西质量监测)对累乘运算∏有如下定义:k=a1×a2×…×an,则下列命题中的真命题是( )A.k不能被10100整除B.=22015C.(2k-1)不能被5100整除D.(2k-1)k=[解析] 因为(2k-1)k=(1×3×5×…×2015)×(2×4×6×…×2014)=1×2×3×…×2014×2015=,故选D.[答案] D5.(2016·浙江卷)已知实数a,b,c( )A.若
4、a2+b+c
5、+
6、a+b2+
7、c
8、≤1,则a2+b2+c2<100B.若
9、a2+b+c
10、+
11、a2+b-c
12、≤1,则a2+b2+c2<100C.若
13、a+b+c2
14、+
15、a+b-c2
16、≤1,则a2+b2+c2<100D.若
17、a2+b+c
18、+
19、a+b2-c
20、≤1,则a2+b2+c2<100[解析] 举反例排除法:A.令a=b=10,c=-110,排除此选项,B.令a=10,b=-100,c=0,排除此选项,C.令a=100,b=-100,c=0,排除此选项.故选D.[答案] D6.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2
21、>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③D.③④⑤[解析] 若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.[答案] C7.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是____
22、__.[解析] 取a=2,b=1,得m0,显然成立.[答案] m23、.[答案] 9.(2018·湖南省郴州市三模)已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则am+n=.类比上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n=__________.[解析] 通过等差数列的结论类比推理可得:若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n=.证明如下:设等比数列的首项为b1,公比为q≠0.则bm=c=b1qm-1,bn=b1qn-1,化为=b·q(n-m)(n+m-1),∴24、=b1qn+m-1=bm+n.[答案] 10.已知非零向量a,b,且a⊥b,求证:≤.[证明] a⊥b⇔a·b=0,要证≤.只需证25、a26、+27、b28、≤29、a+b30、,只需证31、a32、2+233、a34、35、b36、+37、b38、2≤2(a2+2a·b+b2),只需证39、a40、2+241、
23、.[答案] 9.(2018·湖南省郴州市三模)已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则am+n=.类比上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n=__________.[解析] 通过等差数列的结论类比推理可得:若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n=.证明如下:设等比数列的首项为b1,公比为q≠0.则bm=c=b1qm-1,bn=b1qn-1,化为=b·q(n-m)(n+m-1),∴
24、=b1qn+m-1=bm+n.[答案] 10.已知非零向量a,b,且a⊥b,求证:≤.[证明] a⊥b⇔a·b=0,要证≤.只需证
25、a
26、+
27、b
28、≤
29、a+b
30、,只需证
31、a
32、2+2
33、a
34、
35、b
36、+
37、b
38、2≤2(a2+2a·b+b2),只需证
39、a
40、2+2
41、
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