2018年高中数学推理与证明2.2数学归纳法学案新人教a版

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1、2.2　预习课本P92～95，思考并完成下列问题(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？　　(2)数学归纳法的证题步骤是什么？　　　　　　1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示[点睛]　数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，

2、因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．1．

3、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　)(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证n＝________成立．答案：23．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________．答案：f(2n)

4、＞用数学归纳法证明等式[典例]　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．[证明]　(1)当n＝1时，＝成立．(2)假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝，即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明恒等式应注意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝

5、k＋1证明目标的表达式变形．　　　　　　[活学活用]求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，左边＝右边．(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.用数学归纳法证明不等式[典例]　已知n∈N*，n＞2，求证：1＋＋＋…＋＞.[证明]　(1)当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k

6、∈N*，k≥3)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞＋＝＝.因为＞＝＝，所以1＋＋＋…＋＋＞.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立．[一题多变]1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：＋＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)，如何证明？证明：(1)当n＝2时，＋＋＋＞，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立．即＋＋…＋＞.则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＋＋－＞＋＋＋－＞＋3×－＝.所以当n＝k＋

7、1时，不等式也成立．由(1)，(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：…＞(n≥2，n∈N*)，如何证明？证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.左边＞右边，所以原不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即…＞.则当n＝k＋1时，左边＝…＞·＝＝＞＝＝.所以，当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，对一切n≥2，n∈N*不等式都成立．用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n

8、＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况