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《优良性准则、区间估计》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、概率论与数理统计第十八讲从前面两节的讨论中可以看到:●同一参数可以有几种不同的估计,这时就需要判断哪一种估计好.●另一方面,对于同一个参数,用矩法和极大似然法即使得到的是同一个估计,也存在衡量这个估计优劣的问题.估计量的优良性准则就是:评价一个估计量“好”与“坏”的标准.§7.3估计量的优良性准则定义1设总体的参数为,7.3.1无偏性对一切可能的成立,对于样本X1,X2,,Xn的不同取值,取不同的值.若是一个统计量,是随机变量.注意:称为的无偏估计.参数,有时可能估计偏高,有时可能偏低,但是平均来说它等于.“一切可能的”是指:在参数估计问题中
2、,参数一切可能的取值.我们之所以要求对一切可能的都成立,是因为在参数估计问题中,我们并不知道参数的真实取值.自然要求它在参数的一切可能取值的范围内都成立说明无偏性的意义是:用估计量估计例1设X1,X2,…,Xn为来自均值为的总体的样本,考虑的如下几个估计量的无偏性:例如若指的是正态总体N(,2)的均值,则其一切可能取值范围是(-∞,+∞).若指的是方差2,则其一切可能取值范围是(0,+∞).解定理1设总体X的均值为,方差为2,X1,X2,…,Xn为来自总体X的随机样本,记与分别为样本均值与样本方差,即即样本均值和样本方差分别是总
3、体均值和总体方差的无偏估计.证明因为X1,X2,…,Xn独立同分布,所以这样前面两节中,我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体N(μ,σ2)中参数σ2的估计,均为很显然,它不是σ2的无偏估计.这正是我们为什么要将其分母修正为n-1,获得样本方差S2来估计σ2的理由.例2求证:样本标准差S不是总体标准差的无偏估计.证明因E(S2)=2,所以,D(S)+(E(S))2=2,由D(S)>0,知(E(S))2=2-D(S)<2.所以,E(S)<.故,S不是的无偏估计.用S来估计,平均来说偏低.用估计量估计,估计误差7.3.2均方误差准则是随机
4、变量,通常用其均值衡量估计误差的大小.要注意:为了防止求均值时正、负误差相互抵消,我们先将其平方后再求均值,并称其为均方误差,记成,即哪个估计的均方误差小,就称哪个估计比较优,这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”.注意:均方误差可分解成两部分:证明上式表明,均方误差由两部分构成:第一部分是估计量的方差,第二部分是估计量的偏差的平方和.注意:如果一个估计量是无偏的,则第二部分是零,则有:如果两个估计都是无偏估计,这时哪个估计的方差小,哪个估计就较优.这种判定估计量优劣的准则称为方差准则.定义例3设X1,X2,…,Xn为来自均值为的总体的样本,考虑的如
5、下两个估计的优劣:故这两个估计都是的无偏估计.表明:当用样本均值去估计总体均值时,使用全样本总比不使用全样本要好.点估计就是利用样本计算出的值(即实轴上的点)来估计未知参数.§7.4正态总体的区间估计(一)优点是:告诉人们“未知参数大致是多少”;缺点是:并未反映估计的误差范围(精度).例如:在估计正态总体均值µ的问题中,若根据一组实际样本,得到µ的极大似然估计为10.12.一个可以想到的估计办法是:给出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数µ的概率(可靠度、置信度、置信水平(系数)).实际上,µ的真值可能大于10.12,也可能小于10.12.如:估计某人
6、的身高(cm).甲估计:人的身高为[170,180];乙估计:人的身高为[150,190];但由于甲估计的区间短,包含该人真正身高的可能性(概率或置信度)小;乙估计的区间长,精度差,但置信度比甲的大.甲估计的区间较乙估计的短,故精度较高.实际中,在保证置信度的条件下,尽可能提高精度,(用区间的长度来度量)与置信度(用估计的区间包含未知量的概率来度量)是矛盾的.精度即区间的长度尽可能短.7.4.1置信区间的定义定义1实际应用上,一般取α=0.05或0.01.7.4.2正态总体均值的区间估计或故也可简记为例1某厂生产的零件长度X服从N(,0.04),现从该厂
7、生产的零件中随机抽取6个,长度测量值如下(单位:毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求µ的置信系数为0.95的置信区间.解代入置信区间当方差未知时,取也可简记为例2为估计一物体的重量μ,将其称量10次,得到重量的测量值(单位:千克)如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布N(,2).求的置信系数为0.95的置信区间.解代入置信区间7.4.3正态总体方差的区间估计例3(续例2)求2的置信系数为0.95的置信区间.代入解小结本讲首先介绍了估计量的
8、评优准则,包括:无偏性和均方误差准则;然后介绍了区间估计的基本概念