《数学模型ch》PPT课件

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1、第九章概率模型9.1传送系统的效率9.2报童的诀窍9.6航空公司的预订票策略确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型传送带挂钩产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多.背景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径.9.1传送系统的效率问题分析进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人做完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，

2、要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产.可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例作为衡量传送带效率的数量指标.工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同.模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件

3、产品被放下，退出运送系统.模型建立定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数n（已知）之比，记作D=s/n若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则s=mp为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？任一只钩子不被所有(n)工人触到，即空钩的概率为qn如何求概率任一只钩子被一名工人触到的概率是1/m任一只钩子不被一名工人触到的概率是q=11/m任一只钩子非空概率p=1-qnD=m[1-(1-1/m)n]/n设一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方模型解释若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n,则传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）定义E=1-D(一周

4、期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率的途径：增加m习题1当n远大于1时,En/2m~E与n成正比，与m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)])11(1[nmnmD--=9.2报童的诀窍问题报童售报：a(零售价)>b(购进价)>c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量.每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望建模设每天购进n份，日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律——每天需求量为

5、r的概率f(r),r=0,1,2,…准备求n使G(n)最大已知售出一份赚a-b,退回一份赔b-c求解将r视为连续变量结果解释nP1P2取n使a-b~售出一份赚的钱b-c~退回一份赔的钱Orp具体如何求n呢？9.6航空公司的预订票策略预订票业务～航空公司为争取客源开展优质服务问题预先订票（不付款）的乘客如果未能按时登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用.若公司限制预订票的数量等于飞机容量，由于会有订了机票的乘客不按时来，致使飞机不满员而利润降低.如果不限制预订票数量,若持票按时来的乘客超过飞机容量,必然引起不能走的乘客抱怨,给公司声誉带来损失.公司需要综合考虑经济利益和社会声誉

6、，确定预订票数量的最佳限额.问题分析公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量.社会声誉可以用按时前来登机、但因满员不能飞走的乘客（被挤掉者）限制在一定数量为标准.随机因素——预订票的乘客是否按时前来登机.经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量.两目标的优化问题，决策变量是预订票数量的限额.模型假设1.飞机容量n，飞行费用r(与乘客数量无关)，机票价格g=r/n，其中(<1)是利润调节因子(含义);预订票数量的限额m(>n)，每位乘客不按时前来登机的概率p，“各位乘客是否按时前来”相互独立;3.每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b.（=0.6表示飞机达

7、到60%满员率就不亏本）模型建立1.每次航班的利润s=机票收入飞行费用赔偿金若m位预订票乘客中有k位不按时前来(按时前来者不超过容量)(按时前来者超过容量)k位乘客不按时前来的概率(二项分布)平均利润模型建立2.公司为维护社会声誉，要求被挤掉者不要太多，用被挤掉者超过若干人的概率作为度量指标.被挤掉者超过j人(m人中不按时前来的不超过m-n-j-1人)的概率给定n,j,若m=n+j,被挤掉的不会超过j,即Pj(m)=0若m>n+j,Pj(m)随m增加而