13初三奥数__第十三讲___怎样求最值

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1、第十三讲怎样求最值在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达

2、到最大或最小．一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即：对于（）[来源:学科网](1)若a>0，则当时，；(2)若a<0，则当时，．【例题求解】【例1】设a、b为实数，那么的最小值是．思路点拨将原式整理成关于的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设，将等式整理成关于的二次方程，利用判别式求最小值．【例2】若，则可取得的最小值为()A．3B．C．D．6思路点拨设，则可用只含的代数式表示，通过配方求最小值．【例3】

3、设、是方程的两个实根，当为何值时，有最小值，并求这个最小值．思路点拨由韦达定理知是关于的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：(1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．【例4】甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45吨，向B提供75吨，向C提供40吨．甲基地可安排60吨

4、，乙基地可安排100吨．甲、乙与A、B、C的距离千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．思路点拨设乙基地向A提供吨，向B提供吨，这样总运费就可用含，的代数式表示；因为0，，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．ABC甲1056乙4815[来源:Z。xx。k.Com]【例5】某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第天应付的养护与维修费为[]元．(1)如果将该设备从开始投入

5、使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗(元)表示为使用天数(天)的函数；(2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?思路点拨在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数、以及在正实数范围内取值的变量，一定有，即当且仅当时，有最小值．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)；(2)；（3）若，，则；(4)若，，，则．以上各式等号当且仅当(或)时成立．学历训练1

6、．当变化时，分式的最小值为．2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为、米．3．已知实数、、满足，，则的最大值为．4．已知、、为三个非负实数，且满足，，若，则的最大值与最小值的和为()A．B．C．1D．365．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB=4，S△COD=9，则四边形ABCD的面积S四边形ABCD的最小值为()A．2lB．25C．26D．366．正实数、满足，那么的最小值为()A．B．C．1D．E．7．启明公司生产某种产品，每

7、件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：(1)试写出年利润S(万元)与广告费(万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目[来源:Z。xx。k.Com]ABCD

8、EF每股(万元)526468收益(万元)0．550．40．6[来源:Zxxk.Com]0．50．9l如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：作物品种每亩地所需职工数每亩地预