元线性回归模型的预测

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1、§2.4一元线性回归分析的应用：预测问题一、Ŷ0是条件均值E(Y

2、X=X0)或个值Y0的一个无偏估计二、总体条件均值与个值预测值的置信区间对于一元线性回归函数给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解释变量的预测值Ŷ0，可以此作为其条件均值E(Y

3、X=X0)或个别值Y0的一个近似估计。严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因:（1）参数估计量不确定；（2）随机项的影响说明一、Ŷ0是条件均值E(Y

4、X=X0)或个值Y0的一个无偏估计对总体回归函数E(Y

5、X=Xi)=0+1Xi，X=X0时E(Y

6、X=X0)=0+1X0于

7、是可见，Ŷ0是条件均值E(Y

8、X=X0)的无偏估计。对总体回归模型Yi=0+1Xi+i，当X=X0时Y0=0+1X0+0于是E(Y0)=E(0+1X0+0)=0+1X0+E(0)=0+1X0二、总体条件均值与个值预测值的置信区间1、总体均值预测值的置信区间由于于是可以证明因此故于是，在1-的置信度下，总体均值E(Y

9、X0)的置信区间为其中2、总体个值预测值的预测区间由Y0=0+1X0+0知:于是式中:从而在1-的置信度下，Y0的置信区间为在上述收入-消费支出例中，得到的样本回归函数为:则在X0=1000处，Ŷ0=而

10、142.4+0.670Xi142.4+0.670×1000=812.42734760.427.6因此，总体均值E(Y

11、X=1000)的95%的置信区间为：812.4-2.30627.6

12、X=1000)<812.4+2.30627.6或（748.8,875.9）同样地，对于Y在X=1000的个体值，其95%的置信区间为：812.4-2.30659.1

13、均值E(Y

14、X)与个体值的预测区间（置信区间）:（1）样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；（2）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。