高考数学总复习讲座第九讲复习立体几何

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1、第九讲复习立体几何一、本讲进度《立体几何》复习二、本讲主要内容空间几何图形的证明及计算。三、复习指导1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图：条件结论线线平行线面平行面面平行垂直关系线线平行如果a∥b，b∥c，那么a∥c如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b线面平行如果a∥b，aα，bα，那么a∥α——如果α∥β，aα，那么α∥β——面面平行如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么

2、α∥β如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β条件结论线线垂直线面垂直面面垂直平行关系线线垂直二垂线定理及逆定理如果a⊥α，bα，那么a⊥b如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c线面垂直如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α——如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α面面垂直定义（二面角等于900）如果a⊥α，aβ，那么β⊥α————2、空间元素位置关系的度量（1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相

3、交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。（2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。1、两个重要计算公式（1）cosθ=cosθ1·cosθ2其中θ1为斜线PA与平面α所成角，即为∠PAO，θ2为PA射影AO与α内直线AB所成的角，θ为∠PAB。显然，

4、θ>θ1，θ>θ2（2）异面直线上两点间距离公式设异面直线a，b所成角为θ则EF2=m2+n2+d2±2mncosθ4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高PO，斜高PM，侧棱PA，底面外接圆半径OA，底面内切圆半径OM，底面正多边形半边长OM，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。5、球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。6、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出

5、”基本图形。四、典型例题例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。解析：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平

6、面BDF，O’H∥平面BDF。（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。（4）∵CC1⊥平面AC∴CC1⊥BD又BD⊥AC∴BD⊥平面AA1C又BD平面BDF∴平面BDF⊥平面AA1C例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是A、B、C、D、解析：取P点的特殊点A1，连OA1，在底面上过O作

7、OE⊥AD于E，连A1E∵OE⊥平面ADD1A1，AM⊥A1E根据三垂线定理，得：AM⊥OA1∴选D评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路例3、如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600。（1）求异面直线DA与BC所成的角；（2）求异面直线BD与AC所成的角；（3）求D到BC的距离；（4）求异面直线BD与AC的距离。解析：（1）在平面ABC内作AE∥BC，从而得∠DAE=600∴DA与BC成600角（2）过B作BF∥AC，交EA延长线于F，则∠DB

8、F为BD与AC所成的角由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=1200∴DF2=a2+a2-2a2·()=3a2∴DF=a△DBF中，BF=AC=