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1、初中数学竞赛复习作者:潘轶超日期:2004.12.25.1.过点作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作(C)A.4条B.3条C.2条D.1条与坐标轴交点为解:2.已知是一元二次方程的一个实数根,则的取值范围为(B)3解:A.B.C.D.2解:3.实数满足,则的最大值是.4.已知二次函数,且当时,,当时,,则当时,的取值范围是(A)A.B.C.D.考虑极端情形,即以两点作二次函数,得,将代入,得.又以两点作一次函数(无法作二次函数),得,将代入,..5.设是一个函数,使得对所有整数,都有①,
2、和②,则等于(A)A.26B.27C.52D.53解:在①中令,得.在①中令,并根据②得.从而,.7解:6.已知实数满足,则6解:7.一个三角形的边长分别为,另一个三角形的边长分别为,其中,若两个三角形的最小内角相等,则的值等于(B)A.B.C.D.8.是一个两位数,它的十位数字与个位数字之和为,当分别乘以3,5,7,9后得到四个乘积,如果其每个乘积的个位数的数字之和仍为,那么这样的两位数有(B)个.A.3B.5C.7D.9首先可确定这样的两位数必为9的倍数(只有9的倍数乘以一个数后仍为9的倍数),所以在18,
3、27,36,45,54,63,72,81,90,99这几个数中考虑。经检验,18,36,45,90,99符合题意.9.平面上有8个点,其中任意三点不共线,在这些点之间连25条线段,则这些线段最多可以构成41个以为顶点的三角形.解:8个点之间的连线有条,共组成个三角形.现只有25条线段,少了3条线段.少第一条线段,少6个三角形;少第二条线段,至少少5个三角形;少第三条线段,至少少4个三角形.因此,25条线段最多组成个以为顶点的三角形.(组合数公式)知识拓展:排列数公式组合数公式10.如图,在梯形中,,,,.若,则
4、.11.如图所示,在中,,且到、的距离之比为1∶2。若的面积为32,的面积为2,则的面积等于(B)A.6B.8C.10D.1212.如图,如果一个等腰梯形能被分成两个等腰三角形,那么称其为黄金梯形,黄金梯形的四边之比是.13.如图,某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,现在栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有120种.14.从1分,2分,5分的三种硬币中取出100枚,总计3元,其中2分硬币枚数的可能情况有(C)A.13种B.16种C.17种D.19种15
5、.利用公式或其他方法找出一组正整数填空:.将,看作和即可.16.A,B,C三个篮球队进行篮球比赛,规定每场比赛后,次日由胜队与另一队进行比赛,而负队则休息一天,按这个规定,最后结果是A队胜10场,B队胜12场,C队胜14场。问每队各打了多少场?解:我们考虑A队胜10场,B队胜12场,C队胜14场,所以一共赛了36场。注意到负一场休息一天,我们设想最后一场比赛后负队也休息一天,则每个队的负场和休息总是成对出现的。我们再来考虑B队胜12场,C队胜14场,共26场。在这26场中,A或是负或是休息。所以A负的场数与休息
6、的天数共26。所以,A队负的场数.同理,B队负的场数C队负的场数所以A队赛了10+13=23(场),B队赛了12+12=24(场),C队赛了14+11=25(场)。17.求所有质数,使得为完全平方数。18.已知是实数,关于的方程组有整数解,求满足的关系式。解:将代入,消去,得,于是.若,即,则上式左边为0,右边为-1不可能。所以。于是.因为都是整数,所以,即或,进而或.当时,代入得;当时,代入得.综上所述,满足关系式是,或者,是任意实数。19.已知,且,求的最小值。解:令,由,判别式,所以这个二次函数的图像是一
7、条开口向下的抛物线,且与轴有两个不同的交点,因为,不妨设,则,对称轴。于是,所以,故,当时,等号成立。所以,的最小值是4。20.如图,是等腰直角三角形,直角边长为1,是斜边上一点,过点作和的垂线,垂足分别为点和,考虑和以及矩形的面积,证明不管怎样选择点,这三个面积中至少有一个不小于.解:令,则(1)如果则(2)如果则(3)如果则,这时.(此题应逆向考虑)21.如图,点为半圆上一个三等分点,点为的中点,点是直径上一动点,的半径为1,则的最小值为(C)A.1B.C.D.22.如图,,为上一点,为上一点,且,,在上取
8、一点,在上取一点,设,求的最小值.解:如图,分别以所在直线为对称轴,作的对称图形,这时,关于的对称点为上的,点关于的对称点为上的点,,。则,在中.,即的最小值(长)为.(以上两题皆运用了轴对称原理)
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