【教学设计】《等差数列的前n项和》（数学北师大必修5）

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1、北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育《等差数列的前n项和》◆教学目标【知识与能力目标】掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．【过程与方法目标】通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平.【情感态度价值观目标】通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高数学的推理能力．◆教学重难点【教学重点】掌握等差数列前n项和公式及其获取

2、思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．用心用情服务教育北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育【教学难点】通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高数学的推理能力．◆教学过程引入新课高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了.谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说:“老师，我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯.老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称

3、赞.为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他.思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？计算：1+2+3+4+····+99+100探究：等差数列的前n项和公式有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列：1,2,3，…设共摆放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为Sn,则这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列的和呢？而高斯计算的就是当n=100时的和.可见日常生活中经常会遇到这样的求和问题，你能从高斯解决这个问题的过程中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗？抽象

4、概括设Sn是等差数列{an}的前n项和，即根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成用心用情服务教育北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育再把项的次序反过来，Sn又可以写成把①，②等号两边分别相加，得于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图.将an=a1+(n-1)d代入③式，得用心用情服务教育北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育对于本节开头的问题，即转化为求满足的最大自然数n.易知当n=19时，Sn=190;n=20时，Sn=210.所以n的最大值为19.此时，将堆垛19层，剩余10

5、根圆木料.例7:求前n个正奇数的和.解由等差数列前n项和公式，得例8在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：（1）第9圈共有多少块石板？（2）前9圈一共有多少块石板？解（1）设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是等差数列，其中a1=9，d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板（2）由等差数列的前n项和公式，得前9圈一共有石板答第9圈有81块石板，前9圈一

6、共有405块石板.例9在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处.植树工人共走了多少路程?用心用情服务教育北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育解植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m)组成了一个数列0,20,40,60，…，380，这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和答植树工人共走了3800m路程.例10九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工

7、作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：h)依次设为：这是一个等差数列，a1=24，公差d=-1/325辆车可以完成的工作量为：需要完成的工作量为24×20=480.因此，在24h内能构筑成第二道防线.课堂小结：1.回顾从特殊到一般的研究方法;2.倒序相加的算法及数形结合的