《1.3.3 函数的最大（小）值与导数》导学案3

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1、《1.3.3函数的最大（小）值与导数》导学案3【课标要求】1．能够区分极值与最值两个不同的概念．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【核心扫描】1．利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值．(重点)2．常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题.自学导引1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．想一想：在区间[a，b]上函数y＝f(x)

2、的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？提示　一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．想一想：极值和最值的区别与联系？提示　(1)函数的最大值和最小值是

3、一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．名师点睛函数的极值与最大(小)值的理解(1)极值反映的是函数在某一点附近的局部性质：如果x0是函数y＝f(x)的极大(小)值点，那么在点x

4、0附近找不到比f(x0)更大(小)的值；最值反映的是函数在整个定义域内的性质：如果x0是函数y＝f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y＝f(x)在相应区间上的所有函数值．(2)在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值．例如，曲线y＝tanx在开区间内连续不断的，但没有最大值与最小值．(3)若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．(4)开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值的几种情况图(1)中的函数y＝f(x)

5、在开区间(a，b)上有最大值无最小值；图(2)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值；图(3)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值．题型一　求函数在闭区间上的最值【例1】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．[思路探索]先求f′(x)，再令f′(x)＝0得到相应的x的值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值，从而比较大

6、小确定最值．解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60↗极大值4↘极小值3↗极大值4↘－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f′(x)在[－

7、1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．【变式1】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈.解　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)令

8、f′(x)＝0，得x＝0或x＝2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令