《1.3.3函数的最大（小）值与导数》课件3

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1、1.3.3函数的最大(小)值与导数自主学习新知突破1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件．3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．1．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．[问题1]试说明y＝f(x)的极值．[提示1]f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．[问题2]你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？[提示2]函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)

2、，f(x3)中最大的．2．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如图所示)．[问题]两函数的最值分别是什么？[提示]y＝g(x)的最大值为极大值，最小值为g(a)，y＝h(x)的最大值为h(a)，最小值为h(b)．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有__________与__________．函数的最大(小)值最大值最小值1．函数最值的理解(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较

3、．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的__________；2．将函数y＝f(x)的__________与_______处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是__________，最小的一个就是__________．求函数f(x)在闭区间[a，b]上

4、的最值的步骤：极值各极值端点最大值最小值2．求函数最值需注意的问题(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．(3)若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点时，这个点的函数值必然是最值．例如在(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．1．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1，2]上的最大值、最小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(1)与f(2)C．f(－

5、1)与f(2)D．f(2)与f(－1)解析：f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，即4－4x3>0⇒x<1，f′(x)<0⇒x>1，∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，故选B.答案：B2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值解析：f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．答案：A合作探究课堂互动求函数的最值求下列函数的最值．[思路点拨]

6、要求区间[a，b]上函数的最值，只需求出函数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可．(1)f(x)＝2x3－12x，导数法求函数最值要注意的问题：(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点．(2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．特别提醒：比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、作商或分类讨论．1．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；(2)f(x)＝x

7、3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]．解析：(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0得x＝－1，或x＝0，或x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.x－3(－3，－1)－1(－1，0)0(0，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3