应用_基本不等式

《应用_基本不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽个为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？100练习：已知三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100篱笆的长为2（x+y）m由可得∴2（x+y）≥40当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m设三角形的两条直角边为x、y解：则s=∴xy=100∴当且仅当x=y=10时取等号∴当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20例1（2）一段长为36m的篱笆围成一个

2、矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36即X+y=18∴=81当且仅当x=y=9时取等号∴当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81解：设矩形的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=20即x+y=10∴=25当且仅当x=y=5时取等号∴当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25xxyy（3）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？18m解：设菜园的

3、长和宽分别为xm，ym则x+2y=30xy菜园的面积为s=xy=x2y=当且仅当x=2y时取等号即当矩形菜园的长为15m，宽为m时，面积最大为此时x=15，y=练习：设x，y满足x+4y=40，且x，y都是正数，求xy的最大值解：∵x+4y=40∴x（4y）≤=400∴xy≤100当且仅当x=4y时等号成立此时，x=20,y=5∴当x=20,y=5时，xy的最大值为100例2.某新建小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，如图怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）解：设矩形绿地

4、长为x米，则宽为米,人行道的占地面积故当设计绿地的长为30.6米与宽为22.9米时，人行道占地面积最小。例3.某单位用木料做如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x,y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2,问x,y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？解：由题意得于是，框架用料长度为:xy例4:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确

5、定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即当x=y,即x=y=40时,等号成立。所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.例5设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为a(a<1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？设宣传画的宽为xcm，面积为S例6某

6、种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少？)设使用x年报废最合算做一个体积为32，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？解：根据题意，有Z=2×+4x+4y∵体积为32∴2xy=32即xy=16由基本不等式与不等式的性质，可得∴z≥32+4×8=64xy2设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z=32+4(x+y)=8当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4当x=y=4时，用纸最少为64例7