§6.2.2算术平均数与几何平均数(二)

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1、§6.2.2算术平均数与几何平均数(二)教学目的：1.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3.能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用.教学难点：解题中的转化技巧.2021/8/82重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com一、复习引入：1.重要不等式：2.定理：3.公式的等价变形：2021/8/83重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com5.定理：6．推论：2021/8/84重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com7.两个概念:n个正数的算术平均数不小于（

2、即大于或等于）它们的几何平均数。如果a1、a2、…、an>0，且n>1，那么2021/8/85重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com例1.已知x、y都是正数，求证：(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值证明：因为x,y都是正数，所以(1)积xy为定值P时，有上式当x=y时，取“=”号，因此，当x=y时，和x+y有最小值(2)和x+y为定值S时，有上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值三、讲解范例：2021/8/86重庆市万州高级

3、中学曾国荣wzzxzgr@163.com(1)两个正数的和为定值，其积有最大值.(2)两个正数的积为定值，其和有最小值.但应注意三个方面：ⅰ)函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ)等号成立条件必须存在.一正，二定，三相等结论:利用均值定理求最值2021/8/87重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com例2.求函数y=(x>0)的最小值，并求相应的x的值解：∵x0，∴x+1>0，由x+1=得x=0(x0)有最小值，最小值是y=1∴当x=0时y=2021/8/88重庆市万州高级中学曾国荣wz

4、zxzgr@163.com例3.求函数的最大值当且仅当时取得最大值2021/8/89重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com例4.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值解：∵x2+y22xy，∴2(x2+y2)(x+y)2∵x+y=2，∴x2+y22即x2+y2的最小值为2当且仅当x=y=1时取得最小值2021/8/810重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com1．求函数y=(13x)x(00,y>0，且3x+4y=12，求l

5、gx+lgy的最大值．5．求函数y=12x的最值，下面解法是否正确？为什么？解：∵2x+则∴ymax=2021/8/811重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com书面作业课堂练习<<教材>>练习2.3.4<<教材>>习题6.2–6.72021/8/812重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@163.com