§7.6.2圆的方程（二）

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1、§7.6.2圆的方程（二）黄冈中学网校达州分校教学目标：1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索.教学重点：圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式特征教学难点：对圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的认识直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）黄冈中学网校达州分校2.以点(3,1)和(1,5)为直径端点的圆的方程是____(x1)2+(y+2)2=13x2+y2

2、2x+4y8=0标准方程一般方程1.什么是圆的标准方程？其圆心和半径分别是什么？黄冈中学网校达州分校(xa)2+(yb)2=r2x2+y22ax2by+a2+b2r2=0x2+y2+Dx+Ey+F=0①配方法，得：②1)当D2+E24F>0时，②表示以为圆心、以为半径的圆；3)当D2+E24F<0时，②不表示任何曲线．2)当D2+E24F=0时，②表示一个点圆的一般方程的定义：当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．①黄冈中学网校达州分校(1)x2,y2系数相同，且不等于零。(2)没有xy这样的二次式(

3、3)D2+E24AF>0圆的一般方程的特点:比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．的系数可得出什么结论？1.条件(1)、(2)是二元二次方程②表示圆的必要条件，但不是充分条件；2.条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程②表示圆的充要条件．黄冈中学网校达州分校圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独

4、立的条件,才能确定一个圆.例1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为

5、b

6、，注意半径不为b．黄冈中学网校达州分校练习1.下列方程各表示什么图形(1)x2+y2=0(2)x2+y22x+4y6=0(3)x2+y2+2axb2=0答:(1)点(0,0)(2)以(1,-2)为圆心,为半径的圆.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)黄冈中学网校达州分校例2.求过三点O(0,0)，M1(1,1),M2(4,2)

7、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解：设所求的圆的方程为x2＋y2十Dx＋Ey＋F＝0．用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F．因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解．解得F＝0，D＝8，E＝6于是得到所求圆的方程x2+y28x+6y＝0．∴圆的半径为5、圆心坐标是(4，－3)根据圆的一般方程，要求出圆的一般方程，只需运用待定系数法，联立关于D、E、F的三元一次方程组，求出求知数D、E、F，由此得出圆心和半径黄冈中学网校达州分校小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a

8、、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．黄冈中学网校达州分校例3.已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合由两点间的距离公式，得化简得x2+y2+2x3＝

9、0①这就是所求的曲线方程．把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆xyMAOC黄冈中学网校达州分校例4求过点A(-2，-4)且与直线相切于点B(8，6)的圆的方程．解法l：设所求圆方程由题意得：即得：∴所求方程为黄冈中学网校达州分校1.对于圆的方程(xa)2+(yb)2=r2和x2+y2+Dx+Ey+F=0，针对圆的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表：圆的位置圆的标准方程圆的一般方程以原点为圆心的圆过原点的圆圆心在x轴上的圆圆心在y轴上的圆圆心在x轴上且与y轴相切的圆圆心在y轴上且与x

10、轴相切的圆x2+y2=r2x2+y2+