§7.2.3直线的方程（三）

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1、§7.2.3直线的方程（三）教学目的：1.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程.2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,培养学生综合运用知识解决问题的能力.3.对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.教学重点：直线方程的一般式和特殊式之间的互化.教学难点：运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论.第一种：点斜式第二种：斜截式第三种：两点式第四种：截距式一、复习回顾直线方程的四种形式：二、引入：点斜

2、式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0.它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？三、新课：直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这

3、样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式表示一条直线吗？x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0.(1)(其中A、B不同时为零)(1)当B≠0时，方程(1)可化为(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．结论一：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线都有一个表示这条直线的关

4、于x、y的二元一次方程。结论二：在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。例1.已知直线经过点A(6,-4)，斜率为求直线的点斜式、一般式和截距式。解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．再化成截距式得(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，

5、如无特别要求，可作为最终结果保留．说明：例2.把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6即直线l在x轴上的截距是-6取点A(-6,0)、B(0,3)过点A、B作直线，得直线l例3.证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一：直线AB的方程是：化简得y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．证法二.证

6、AB

7、+

8、BC

9、=

10、AC

11、，从而A、B、C三点共线．例4.已知直线的斜率为，且和坐标轴围

12、成面积为3的三角形，求该直线的方程？由题意知所围成的三角形为直角三角形，而根据直角三角形的面积公式，直线方程应设为截距式较好，解：设直线方程为直线的斜率又S解得或所求直线的方程为：或分析：【课堂练习】1．若直线在第一、二、三象限，则()2．直线图象只可能是()DB3．直线与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，求k的取值范围．4．已知：3a+2b=5，其中a，b为常数，求证必过一定点答：且k≠O(k=0不能组成△)方法1：观察当a、b为常数时都成立，∴直线ax必过定点(6，4)．方法2：消元思想，即方法3：成立，不妨令a=0，a=1组成方程组，求x，y．【课堂

13、小结】(1)平面内任何一条直线方程(2)点评：①要知道每种形式的来龙去脉．②弄清每个方程的几何意义．③能够互化．④弄清它们的适用范围．，⑤用到数学思想：分类讨论、数形结合等．⑥任何特殊形式方程都可化为一般式，一般式方程在条件允许的情况下也可化为特殊形式．书面作业课堂练习<<教材>>练习1.2.3<<教材>>习题7.2–9.10.11.12补充题：设直线l的方程为根据下列条件分别求m的值：①l在x轴截距为-3；②斜率为1．答案：