《辛等比数列题型》PPT课件

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1、[例1]在等比数列中：(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1与q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.[变式]在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求a10；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[例]数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[变式]已知数列{an}的前n项和Sn＝3an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．[变式]已知数列{

2、an}为等比数列，且a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.解析：解法1：由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8[例4]三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．分析：三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中一个数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解好问题的关键．解析：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2.这三个数可表示为2－d,2,2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝

3、6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6若d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上，可求得此三数为－4,2,8.[变式]已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．分析：利用已知条件，列出关于首项a1和公比q的方程组，求出a1和q后，问题便得以解决．解析：设该等比数列的首项为a1，公比为q，由已知得常用的等比数列的性质有以下几种：设{an}是公比为q的等比数列，那么(1)an＝am·qn－m；(2)如

4、果m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝a.在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积；(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列；[例](1)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________．(2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．(3)在等比数列中，若a1＝1，a5＝10，则a9＝_____

5、___.(4)在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________．答案：(1)5(2)－217(3)100(4)192[变式]在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________.答案：512评析：本题若把条件表示为a1、q的形式亦可解决，但运算步骤较麻烦，因此解题时要合理选择方法．[例7]有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16

6、；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.[变式]设{an}是公差d≠0的等差数列，且ak1，ak2，…，akn…恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.∴在等差数列中，akn＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d；在等比数列中，akn＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，∴(kn＋1)d＝2d·3n－1，∴kn＝2·3n－1－1.[例]数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．(1)求c的值；(2)求{an}的通项公式．解析：(1)a1＝2，a2＝2＋

7、c，a3＝2＋3c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2.当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意，舍去，故c＝2.[变式训练8]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn(n＝1,2,3，…)．证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系．建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后再应用数列的通项公式和求和公式求解；(2)通过归纳得到结