《行列式Cramer法则》PPT课件

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1、Cramer法则n阶行列式的定义、性质及计算方法克拉默（Cramer）法则第二章行列式1.二阶行列式对于给定的二元线性方程组其系数矩阵是一个二阶方阵.用消元法求解线性方程组（1），得该式中的系数称为由二阶方阵所确定的二阶行列式，记为矩阵的行列式还记作或，即一般地，二阶行列式可按下图所示的对角线法则确定其值：方阵与矩阵的区别：二阶方阵是个数按确定的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些数（也就是二阶矩阵）按一定的运算法则所确定的一个数．例1求解二元线性方程组解因为所以定义对于一个给定的3阶方阵2.三阶行列式将之与数相对应，那么这个数就称为由矩阵所确定的三阶行列式记作例2计算三阶行列式解利用消

2、元法求解，则可得方程组的解为对于三元线性方程组，如果它的系数行列式为书写方便，将之记成其中是用常数项替换中的第列所得的三阶行列式，即例3解三元线性方程组解3.阶行列式（1）设是一阶方阵，则它所确定的一阶行列式定义成数．采用递归的方法给出其定义：（2）二阶矩阵，它所定义的二阶行列式（3）对于三阶矩阵所确定的三阶行列式即（4）假设由阶方阵所确定的阶行列式已有定义，那么，阶方阵所确定的阶行列式用归纳法定义为那么，上述行列式的定义可记为将阶矩阵的元素所在的第行第列处的元素划去后，中剩下的个元素按原来的排列顺序组成阶矩阵所确定的行列式记作，称之为的余子式，为的代数余子式数也称为行列式的第行第列处的元

3、素，而元素，，，所在的对角线称为行列式的主对角线；另一条对角线称为行列式的次对角线．行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然．性质2互换行列式的两行(列),行列式变号．推论若行列式两行(列)完全相同，则此行列式为零．推论方阵的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的代数余子式乘积之和等于零，即性质3行列式按行（列）展开法则行列式等于对应于它的方阵的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即性质4行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用数乘此行列式．推论1行列式某一行（列）的所有

4、元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零；若行列式某两行(列)成比例，则此行列式等于零．性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第行的元素都是两数之和：则等于下面两个行列式之和：性质6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变．5.行列式的计算计算行列式的一种基本方法是利用性质2，性质4，性质6将其化成三角行列式后而计算．例1计算解例2这里记号“”表示全体同类因子的乘积．证明范德蒙（Vandermode）行列式现假设式对阶范德蒙行列式成立，为此，从第行开始，后行减去前行的倍，有证用

5、数学归纳法．因为所以，当时等式成立．要证明等式对阶行列式也成立．提出，就有按第一列展开，并把每列的公因子，故上式右端的行列式是一个阶范德蒙行列式其中按归纳法假设，它等于所有因子的乘积例3计算阶行列式解行列式中每行元素之和均为，从第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子，然后各行减去第1行：在上述诸例将行列式化为上三角行列式的过程中，虽然我们用到了性质2，4，6中的各种运算，但是起关键作用的是运算，其他几种运算只是使计算过程变得简单一点而已．稍作分析，便不难发现任何阶行列式总能利用运算化为上三角形行列式，或化为下三角形行列式．类似，利用运算也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式．

6、例4设证明证对作运算，把化为下三角行列式，设为对作运算，把化为下三角行列式，设为于是，对的前行作运算，再对的后列作运算，把化成下三角行列式即6.克拉默（Cramer）法则对方程个数与未知量的个数相等的如下的线性方程组定理1（克拉默法则）的行列式,那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为如果线性方程组（1）的系数矩阵注意：将行列式按第列展开，显然其中是把矩阵中的第列换成方程组的常数项所成的矩阵行列式，即对于齐次线性方程组显然一定是解，称为零解.将克拉默法则用于齐次线性方程组（5），可得定理1′如果线性方程组（1）无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理2如

7、果齐次线性方程组（5）的系数矩阵的行列式那么它只有零解；也就是说，如果方程组（5）有非零解，那么必有例1:求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c,使得f(1)=0,f(2)=3,f(–3)=28.解:由题意得f(1)=a+b+c=0,f(2)=4a+2b+c=3,f(–3)=9a–3b+c=28.这是一个关于三个未知数a,b,c的线性方程组.由克拉默法则,得于是,所求的多项式为:f(x)=2x2–3x+1,解：由定理