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时间:2020-06-16
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1、一、k级子式与余子式、代数余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理§2.8拉普拉斯定理行列式乘法法则三、行列式乘法法则一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列按照原来次序组成一个k级行列式M,称为行列(),位于这些行和列的交叉点上的个元素式D的一个k级子式;在D中划去这k行k列后式,称为k级子式M的余子式;余下的元素按照原来的次序组成的 级行列若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是,则在M的余子式前后称之为M的代数加上符号余子式,记为.注:①k级子式不是唯一的.
2、(任一n级行列式有个k级子式).时,D本身为一个n级子式.②时,D中每个元素都是一个1级子式;二、拉普拉斯(Laplace)定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项,而且符号也一致.Laplace定理由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的设在行列式D中任意取k()行,代数余子式的乘积和等于D.即若D中取定k行后,由这k行得到的k级子式则.,它们对应的代数余子式分别为为②①时,即为行列式D按某行展开;注:为行列式D取定前k行运用Laplace定理结
3、果.例1:计算行列式解:,,,,,.它们的代数余子式为,,,,,.∴三、行列式乘法法则设有两个n级行列式其中则证:作一个2n级的行列式由拉普拉斯定理又对D作初等行变换:可得这里从而例2:证明齐次性方程组只有零解.其中不全为0.证:系数行列式由不全为0,有即,故方程组只有零解.例3设证明:其中为元素的代数余子式。
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