克拉默(Cramer)法则

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1、定理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即证明:用系数行列式D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,···,Anj依次乘方程组(1)的n个方程,得再把n个方程相加,得D由行列式代数余子式的性质可知,上式中xj的系数等于D,而xi(ij)的系数均等于0,等式右端为Dj.于是因此,当D0时,方程组(2)有唯一解:Dxj=Dj(j=1,2,···,n)(2)由于方程组(2)与方程组(1)等价,

2、故也是方程组(1)的唯一解.定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.定理3:如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.(3)定理4:如果齐次线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式D必为零.在后面我们将证明:齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式D必为零.例1:用克拉默法则解方程组解:所以解:例2:用克拉默法则解方程组所以例2:问取何值时,齐次方程组有非零解?由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0,解:则=0,=2或=3时,齐次方程组有非零解.例3.求使得3点共

3、线的充分必要条件.解：假设这3点位于直线上，其中a,b,c不同时为0,即有3点共线等价于上述关于a,b,c的齐次线性方程组有非零解，其充要条件是例4.证明n次多项式至多有n个互异的根.证明：用反证法,假设n次多项式有n个互异的根：即有上述关于的齐次线性方程组的系数行列式为：因为互不相等，所以从而齐次方程组只有零解，这与矛盾，故结论成立！用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导,并不适用于实际计算.小结思考题当线性方程组的系数行列式为零时

4、,能否用克拉默法则解方程组?此时方程组的解为何?思考题解答不能.此时方程组可能为无解,或有无穷多解.