《高等数学复习》PPT课件

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1、第九章重积分习题课(二)三重积分典型例题主要内容巩固训练探索提高一、三重积分的概念1．定义:2．物理意义:的空间物体的质量。表示体密度为二、三重积分的性质1.线性性质：2.可加性：4.单调性：若在上，，则5．估值性质：的体积，则在上至少存在一点，使得3.的体积：7.中值定理：设函数在闭区域上连续，是,则三、三重积分的计算方法1．利用直角坐标计算(1)“先一后二”法则(2)“先二后一”法其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则若为在面上的投影区域若2．利用柱面坐标计算若则3．利用球面坐标计算若则四、三重积分的应用(1)质量(

2、2)质心，，(3)转动惯量1．几何应用2．物理应用空间立体的体积五、三重积分的解题方法计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种坐标计算。通常要判别被积函数和积分区域所具有的特点。如果被积函数积分区域的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果被积函数，则可采用先二后一法计算；如果被积函数，积分区域为柱或的投影是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：利用球面极坐标计算先一后二的方法YesNoNoYes转化为三次积分先二后一的方法求D1及截面面积求确定上顶曲面下顶曲面为

3、柱或投影为圆域投影为圆域利用柱面坐标计算确定上顶曲面下顶曲面利用直角坐标计算YesNo1231112解题方法流程图分析由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路111的方法计算。解:（如图）在平面上的投影域.的上顶曲面为，即：。【例1】计算三重积分。其中为平面，，，，所围成的四面体。下顶曲面为。于是，得六、典型例题【例2】计算三重积分。其中是由曲面与平面，及所围成的闭区域。分析由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、柱面坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标来计算，即按照框

4、图中线路111的方法计算。解:(1)求（如图）在平面上的投影区域为(2)确定上顶曲面及下顶曲面。(3)转化为先对后对的三次积分计算：因为当时满足，,。因此【例3】计算三重积分。其中是由曲面及平面所围成的闭区域。分析由于积分区域在坐标面上的投影区域为圆域且被积函数中含有，所以可采用柱面坐标计算，即按照框图中线路112的方法计算比较简单。解：积分区域的如图所示。在柱面坐标下故有【例4】计算三重积分.其中是由锥面与平面所围成的闭区域。被竖坐标为的平面所截的平面闭区域为圆域故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法，即按照框图中面上的投影区域为圆

5、域，所以本题也可采用柱面坐标计算，即按框图中线路112的方法计算。解法1：利用“先二后一”方法计算。由于，线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域在坐标分析由于被积函数只与变量有关，且积分区域其中，故解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下故有注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但“先二后一”法相对简便。【例5】求，其中是由球面所限定的球域。分析由于积分区域是由球面所围成的球域，且被积函数线路2的方法计算比较简单。在球面坐标系下，中含有，故本题利用球面坐标计算，即框图中解：积分区域的图形如图。故有【例6】设，计算，

6、分析由于积分区域关于面对称，而函数关于变量为奇函数，所以，又，故本题可利用对称性及积分的性质计算。解：【例7】*设连续，，其中，。求，。分析本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目。由于积分区域为圆柱体,故应首先利用柱面坐标将三重积分转化成积分变上限的函数，然后求导，最后再利用洛必达法则求极限。解:由柱面坐标得从而有；于是型【例8】设有一物体，占有空间闭区域在点处的密度为，计算该物体的质量。分析由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为。故只需计算三重积分即可。而积分区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。解:由三重积分的物

7、理意义，可得所求物体的质量为【例9】一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面和平面所围成.（1）求其体积；（2）求物体的重心；（3）求物体关于轴的转动惯量.【1】计算三重积分其中是由圆锥面与上半球面所围成的闭区域。分析同上题的分析，本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面坐标方法进行计算。解法1：利用“先二后一”方法计算。因由于当时，；而当时，。巩固训练故需用平面将积分区域划分为两部分：其中于是，得解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下故有注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。【

8、2】计算三重积分其中是由球面和平面所确定的闭区域。分析由于积分区域是由两个球面及平面所围成的球壳体，故本题利用球面坐标计算，即框图中线路2的方法计算比较简单。解：积分区域的图形如图。在球面坐标系下故有【3】