《高等数学上复习》PPT课件

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1、高等数学上复习题目类型：选择，填空，计算，证明，综合考试注意事项：签名，时间控制，先易后难，答题规范。考试形式：闭卷考试时间：2小时一、极限计算主要方法：两个重要极限，无穷小替换，罗必塔法则，其他方法（有理化、定积分定义等），特别注意各种方法的结合。如无穷小+罗必塔，罗必塔+积分上限函数等。或注意与区别例1例2.求解:令则因此原式例3注意“凑”的技巧，想法凑成公式需要的形式。例4计算解：例5：求下列极限：提示:无穷小有界令机动目录上页下页返回结束～常用等价无穷小:～～～～～～～～～例1.求解:原式例2.求解:例计算解：分子或分母有理化存在(或

2、为)罗必塔法则例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!解:原式例2.求例3.求解:例4.求解:注意到～原式分析:例5.原式～～例6.求解:原式说明目录上页下页返回结束例7.确定常数a,b,c的值,使解:原式=c≠0,故又由～,得(1)(2)二、连续性（分段函数情形）例1在x=0处连续,则A=()解：计算函数值f(0)＝A,计极限值所以A=3例1.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:例2a=(0),b=2解：计算函数值计极限值此时，要考察左右极限，右极限左极限由连续的定义，可得a=(0),b=2三、导数与微分计算、应用、证明导数定

3、义（分段点可导性讨论，计算）复合函数求导，隐函数求导，参数方程确定函数求导导数几何意义（切线法线计算）单调区间，凹凸区间，求最大最小值证明解:因为例1.设存在,且求所以设解:又例2.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.例3解：两边对x求导得：算出，斜率所以切线方程为例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导解注意y=y(x)解得上式两边在对x求导，得注意：例6解例7.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故例8.设其中可微,解:例9求曲线的拐点及凹凸区间。解:令得：凹的凸的凹的拐点拐点凹凸区间为例10.求抛物线在(0

4、,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点例11.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.四、不定积分与定积分计算：直接积分法、第一换元法、第二换元法（三角代换，倒代换，最小公倍代换）、分部积分法积分上限函数求导（复合函数情形）应用：面积（不同坐标系）、旋转

5、体体积、弧长对称性应用：奇函数、偶函数无穷限广义积分例1.求解:原式=例2.求解:例3解：例4解：例5.求解:令则想到公式例6.求解:类似例7.求解:∴原式=例8.求解:令则∴原式例9.求解:令则∴原式例10.求解:令则∴原式令于是例11.求解:令则原式例12.求解:令得原式思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令例13例14求积分解注意循环形式例15求积分第二换元法+分部积分法解例16：求解：例17计算广义积分解解：10五、微分方程一阶：变量可分，线性非齐次（常数变易法）二阶：常系数非齐次通解思考与练习求下列方程的通解:提示:(

6、1)分离变量(2)方程变形为例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为:这里12)(+-=xxP,25)1()(+=xxQ.解由通解公式得非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为即])1(32[)1(232Cxxy+++=.例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为解例3求微分方程yyxcos2x的一个特解因为f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]xcos2xi2i不是

7、特征方程的根所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210把它代入所给方程得y*(axb)cos2x(cxd)sin2x(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2xxcos2x>>>>>>六、不等式证明单调性证明：一阶导数不好判断正负情形，继续求导利用定积分证明不等式中值定理应用例1.证明时,成立不等式证:令从而因此且证*证明令则从而即例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例3.证明证

8、:令则令得故机动目录上页下页返回结束例4.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,即②成立.②