4.2(1)常系数线性微分方程的解法

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1、§4.2常系数线性方程的解法(1)§4.1内容回顾解的性质与结构。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。♣n阶齐次线性方程的所有解构成一个n维线性空间。非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构通解与自身的一个特解之和。齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键常数变易法4.2.1复值函数与复值解一定义极限连续导数易验证如二关于定义表示的性质1）2）3）结论实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式一致。实变量的复指

2、数函数的求导公式与实变量的实指数函数的性质一致。三线性方程的复值解如果定义在上的实变量的复值函数满足方程为方程的一个复值解。则称如果方程4.2中所有系数都是实值函数，而是方程的复数解，的实部，虚部和共轭复数函数也是方程4.2的解。定理8则定理9若方程有复数解,这里及都是实函数。那么这个解的实部和虚部分别是方程和的解。4.2.2常系数齐线性方程和欧拉方程…….(4.19)为常数。其中为了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解组。n阶常系数齐次线性方程…….(4.21)满足结论：是方程(4.19

3、)的解的充要条件满足特征方程特征根下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。特征根为单根的情况是特征方程（4.21）的n个互不相等的根，设则相应的方程（4.19）有如下n个解这n个解在区间的基本解组。事实上，上线性无关，从而组成方程是方程的基本解组。方程4.19的通解可表示为范德蒙(Vandermonde)行列式如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数。复根将成对共轭的出现，设方程的一个特征根也是一个特征根则方程（4.19）有两个复值解对应两个实值解例1求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基

4、本解组第三步：写出通解例2求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解2)特征根有重根的情况是特征方程（4.21）的m个互不相等的根。设…….(4.19)…….(4.21)重数设是k1重特征根显然是方程的k1个线性无关的解，方程(4.19)有k1重零特征根方程恰有k1个线性无关的解设是k1重特征根令…….(4.19)…….(4.23)特征方程(4.19)的k1重特征根(4.23)的k1重特征根零方程(4.23)恰有k1个线性无关的解由方程(4.19)恰有k1个线性无关的解类

5、似地基本解组(4.26)证明假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数使得(4.27)假定多项式至少有一个系数不为零，则不恒为零，微分k1次不恒为零，不恒为零，矛盾！中函数线性无关，其构成的解本解组。(4.26)方程的一个重特征根也是一个重特征根它们对应2个线性无关的实解是例3求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解例4求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解二重根作业：可化为常系数线性方程的方程-------欧拉(Euler)方程为常数。其中

6、引入自变量代换假设自然数m有以下关系式成立，对一切自然数m均有以下关系是成立，原方程可化为常系数线性方程欧拉方程常系数线性方程确定求解欧拉方程的过程设是欧拉方程的解解齐次欧拉方程的步骤第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出的基本解组先求出变换以后方程的基本解组再求出原方程的基本解组第三步：写出原方程的通解例5求方程的通解。解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组例6求方程的通解。解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组作业：。