理论力学精品课程 第十五章 达朗伯原理

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1、第十五章达朗伯原理达朗伯原理刚体惯性力系的简化引言前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。15.1达朗伯原理一、质点的达朗伯原理设质量为的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬时作用于质点M上的主动力为，约束反力为，其加速度为。根据动力学基本方程有将上式改写成令于是，假想是一个力，称之为质点的惯性力。的大小等于

2、质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与其加速度的方向相反。则有即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。15.1达朗伯原理例1球磨机的滚筒以匀角速度绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为，试求钢球的脱离角。解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为惯性力的大小为假想地加上惯性力，由达朗伯原理15.1达朗伯原理例1解得：这就是钢球在任一位置

3、时所受的法向反力，显然当钢球脱离筒壁时，，由此可求出其脱离角为15.1达朗伯原理二、质点系的达朗伯原理设非自由质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，其加速度为，作用在此质点上的外力的合力为，内力的合力为。在该质点上假想地加上惯性力，则由质点的达朗伯原理，有对整个质点系来讲，有个这样的力系，将这些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是力系的主矢和对任意点O的主矩分别等于零，即15.1达朗伯原理二、质点系的达朗伯原理因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等值反向，因此有和；而剩下的外力系又可分为作用在质点系上的主动力

4、系和外约束反力系。设、分别为作用在第个质点上的主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点系上的惯性力系构成形式上的平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。15.1达朗伯原理例2重P长的等截面均质细杆AB，其A端铰接于铅直轴AC上，并以匀角速度绕该轴转动，如图。求角速度与角的关系。解：以杆AB为研究对象，受力如图。杆AB匀速转动，杆上距A点的微元段的加速度的大小为微元段的质量。在该微元段虚加惯性力，的大小为15.1达朗伯原理例2于是整个杆的惯性力的合力的大小为设力的作用点到点A的距离为，由

5、合力矩定理，有即假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理15.1达朗伯原理例2代入的数值，有故有或15.2刚体惯性力系的简化下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结果。首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点的质量为，加速度为，刚体的质量为M，质心的加速度为，则惯性力系的主矢为由质心的矢径表达式知，将其两边对时间求两阶导数，有于是有此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。15.2刚体惯性力系的简化对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下面就刚体

6、平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。一、刚体作平动如图所示，将惯性力系向刚体的质心C简化，惯性力系的主矩为式中，是质心C的矢径，由于C为简化中心，显然，于是有综上可得结论：平动刚体的惯性力系，可以简化为一个通过质心的合力，合力的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反。15.2刚体惯性力系的简化二、刚体绕定轴转动如图所示，具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的大小为方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为由于通过O点，则有，所以故15.2刚体惯性力系的简化综上可得结论：定轴转动刚体的惯

7、性力系，可以简化为通过转轴O的一个惯性力和一个惯性力偶。力的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。现在讨论以下三种特殊情况：2、当刚体作匀速转动时，，若转轴不过质心，惯性力系简化为一惯性力，且，同时力的作用线通过转轴O。1、当转轴通过质心C时，，，。此时惯性力系简化为一惯性力偶。3、当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时，，，惯性力系自成平衡力系。15.2刚体惯性力系的简化三、刚体作平面运动如图所示，设刚体作平面运动，取质心C为基点，这时可将刚体的作平面

8、运动分解为