§6实对称矩阵的标准形

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1、§6实对称矩阵的标准形在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即存在可逆矩阵C使成对角形.现在利用欧氏空间和特征值与特征向量理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强为：对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n即正交矩阵T，使成对角形，显然这个对角形不仅与A是合同的，而且与A是相似的.引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值全为实数.证明：设是A的特征值，于是有非零向量使得令其中为的共轭复数，则考察等式A对称A是实的又因为是非零向量，故从而即是一个实数.对应于实对称矩阵A，在n维欧氏空间Rn上定义一个线性变换A如下：显然A在标准正交基下的矩阵就是A

2、.引理2设A是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意的有或证明：A对称是一个实数，视为一个1×1的矩阵设A为欧氏空间V上的线性变换，若对于任意都有则称为A为对称变换，或自伴随变换.定义12引理3设A是对称变换，V1是A的不变子空间，则也是A的不变子空间.证明：任取要证即要证对于任意的都有故因此，即也是A的不变子空间.引理3设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交.证明：设是A的两个不同的特征值，分别是属于的特征向量，即定义Rn中线性变换A：Ax＝Ax，x∈Rn.于是由于有因为所以即正交.定理7对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T

3、，使得成对角形.证明：由实对称阵和对称变换的关系，只要证明明对称变换A有n个特征向量做成的标准正交基即可.对空间的维数n作归纳法.n=1时，显然定理的结论成立.设n－1时定理的结论成立.对n维欧氏空间Rn，线性变换A有一特征向量其特征值为实数将单位化，还用代表它.作的正交补，设为V1.由引理3，V1是A的不变子空间，其维数为n－1.又A

4、V1显然也是对称变换，由归纳假设，A

5、V1有n－1个特征向量作为V1的标准正交基.从而是Rn的标准正交基，又是A的n个特征向量.定理得证.定理7中正交矩阵T的求法在定理的证明过程中我们利用矩阵A在Rn中定义了一个线性变换A，求正

6、交变换T的问题就相当于在Rn中求一组由A的特征向量构成的标准正交基.事实上，设是Rn的一组标准正交基，它们都是A的特征向量.显然，由到的过渡矩阵就是T就是一个正交矩阵，且成对角形.正交矩阵T的计算步骤1.求出A的特征值.设是A的全部不同的特征值.2.对于每个解齐次线性方程组求出一个基础解系，这就是A的特征子空间的一组基：再作Schimidt正交化得它就是一组标准正交基.3.因为两两不同，所以将它们各自的标准正交基合并起来即得Rn的一组标准正交基.也是A的特征向量.4.最后按顺序将3中所求的特征向量排成正交矩阵T，则例已知求一正交矩阵T使得成对角形.解：先求A的特

7、征值.由即得A的特征值为1（三重），－3.其次，求属于特征值1的特征向量.为此考虑线性方程组即求得基础解系为把它正交化，得再单位化，得这就是属于三重特征值1的三个标准正交的特征向量.再求属于－3的特征向量.为此考虑齐次线性方程组即求得基础解系为将它单位化得特征向量构成R4的一组标准正交基，所求的正交矩阵为而注上例中可进一步要求

8、T

9、=1，基即要求正交矩阵T是第一类的.事实上，如果求得的正交矩阵T的行列式为－1，则取于是T1＝TS是正交矩阵，且注2如果线性替换的矩阵C=(cij)是正交的，则它就称为正交的线性替换.正交的线性替换显然是非退化的.定理7的二次型语言描

10、述定理8任意一个实二次型都可以经过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数就是矩阵A的特征多项式全部的根.正交变换（正交矩阵）的几何应用二次曲面的分类在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是令则上述方程可写成经过转轴，坐标变换公式或者其中C为正交矩阵且

11、C

12、=1.在新坐标系中，曲面的方程就是由定理7及注可知，存在行列式为1的正交矩阵C使即可以作一转轴，使曲面在新坐标系下的方程为其中此时，再按照是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.例如：全不为零.作移轴此时曲面的方程为其中