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《利用拉格朗日中值定理求极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、!""#年$月思茅师范高等专科学校学报%&’(!""#第!)卷第*期+,-./01,2%340,5&067&.8’9,11&:&;,1(!)<,(*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!利用拉格朗日中值定理求极限戴红兵"（思茅师范高等专科学校数学系，云南思茅==#"""）【摘要】拉格朗日中值定理在数学理论及不等式的证明上都得到了充分的重视，其实该中值定理的价值远不止这些，它在处理某类极限问题时，有很简捷独特的功能。【关键词】拉格朗日中值定理；连续函数；可导；
2、极限【中图分类号】>)?@【文献标识码】A【文章编号】)""BCB"#（$!""#）"*C""#!C"!拉格朗日中值定理在数学理论及不等式的证明上都"!"!&’(E&’(E)!!"#FG)F""#FG)F（"F)）得到了充分的重视，其实该中值定理的价值远不止这些，"!由夹逼定理得：&’(E)它在处理某类极限问题时，既别开生面，又有很简捷独特"#FG)F!!的功能。同理&’(#.),#-!E!"#FG"定理（拉格朗日中值）如果函数（!"）在闭区间［#，$］注：以下各题同样采用夹逼定理处理问题，其过程均省略。上连续，在开区间（#，$）
3、内可导，那么在（#，$）内至少有一##*&’(-（!#.),#-C#.),#-）-#FG--F)点!（#D!D$），使等式（!$）C（!#）E!（%!）（$C#）成#立。解：令（!"）E#.),#-"，当"H"时，显然（!"）在)&’(（)*+$"F)C)*+$"）［-，-F)］上满足拉格朗日中值定理，得"#FG###解：令（!,）E)*+$,，当,H"时，显然（!,）在［"，"F)］#.),#-C#.),#-EC，-D-F)-!!F#!!D-F)上满足拉格朗日中值定理，得!###-!I&’(-（#.),#-C#.),#-）E&’
4、(E#-#FG--F)-#FG!!F#!))*+$"F)C)*+$"E（C+’-$!），"D!D"F)!$!$)F,#-"C$)F+’-"@&’()"#"（")F)*+"）I&’(（)*+$"F)C)*+$"）E&’(［（C+’-$!）］E""#FG!#FG!$!解：令（!,）E$)F,，当,H"（或,D"）时，显然（!"）!&’("［!&-#.),#-（"F)）C&-#.),#-"］"#FG在［+’-"，,#-"］（或［,#-"，+’-"］）上满足拉格朗日中值定理，解：令!（,）E&-#.),#-,，当"H"时，显然!（,）在得
5、［"，"F)］上满足拉格朗日中值定理，得,#-"C+’-"$)F,#-"C$)F+’-"E，+’-"D!D,#-"，!#"!$)F!))&-#.),#-（"F)）C&-#.),#-"E［，"D#.),#-!)F!!］!D"F)（或,#-"D!D+’-"）I&’("［!&-#.),#-（"F)）C&-#.),#-"］"#FG$)F,#-"C$)F+’-"I&’(］!"#"（")F)*+"）")!E&’(E"#FG#.),#-!)F!!",#-"C+’-")（)C)*+"）,#-")E&’(E&’(E"!"!"!"#"!$)F!（")
6、F)*+"）!"#"（")C)*+"）!其中HH)F"!)F!!)F（"F)）!该题目表面看与拉格朗日中值定理毫不相干，但"【收稿日期】!""#C"@C!#【作者简介】戴红兵（)$==C），男，湖南祁东人，思茅师范高等专科学校数学系讲师。万方数据#!戴红兵：利用拉格朗日中值定理求极限!*!!"!"#$，!!"%&#$两函数的外层函数相同，于是只要把注（：!!%!*%!.%"$）*内层函数当做区间的两个端点看待，再验证其确实满足拉（*$）’#（!"）格朗日中值定理的两个条件，就可用该中值定理进行计/’&(%&#$&0（，"’$，"%
7、!），求’&(（*$）$*$"$"%!$"$$算，否则不能用该中值定理进行计算。解：令-（!）&"!，当!’$（或!($）时，显然-（!）在)!"#$%)%&#$#’&(［$，$］（或［$，$］）上满足拉格朗日中值定理，&!位于$与$"$$%%&#$解：令（*!）&)!，当!’$（或!($）时，显然（*!）在$之间，得"$%!&"!（’#"）$"$’#"得"$%!.$’#"［%&#$，!"#$］（或［!"#$，%&#$］）上满足拉格朗日中值定理，!介于%&#$，!"#$之间，得!"$得令1（!）&’#（!"!），显然1（!）在［$
8、，（*$）］（或［（*$），$］）%&#$%&#$)!"#$%)%&#$&)!（!"#$%%&#$）（*$）上满足拉格朗日中值定理，&#位于$与之间，得%&#$)!"#$%)%&#$)!（!"#$%%&#$）)’&($%%&#$&’&($%%&#$
