5.3实数与向量的积(一)

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1、5.3实数与向量的积（一）yyyy年M月d日星期黄冈中学网校达州分校教学目标：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解黄冈中学网校达州分校向量的加法(三角形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.ab作法:在平面中任取一点O,aAbBa+b过O作OA=a则OB=a+b.过A作AB=bo一、复习引入：黄冈中学网校达州分校向量的加法(平行四

2、边形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.aoaAbBba+bCOC=a+b黄冈中学网校达州分校向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.aboaAbBa-bBA=a-b黄冈中学网校达州分校试作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)已知非零向量a（如图）aaaaOABC-a-a-aPQMN相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？黄冈中学网校达州分校定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

3、λa

4、=

5、λ

6、

7、a

8、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相

9、同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0黄冈中学网校达州分校(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。=黄冈中学网校达州分校运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb黄冈中学网校达州分校例1：计算:(1)(－3)×4a(2)3(a+b)-2(a－b)-a(3)(2a+3b－c)-(3a－2b+c)解：原式＝(－3×4)a＝－12a(2)原

10、式＝3a+3b－2a+2b-a＝5b(3)原式＝2a+3b－c－3a+2b－c＝－a+5b－2c黄冈中学网校达州分校例2:若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ.解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ①ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.∴ｎ＝ａ－ｂ④将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ评析：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.黄冈中学网校达州分校共线向

11、量的条件：对于向量a(a≠0),b，以及实数λ,μ问题1：如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa？定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有且只有一个实数λ，使得b=λa黄冈中学网校达州分校(证明：(1)必要性∵向量a与b共线，a≠0,设

12、b

13、:

14、a

15、=μ∴当a与b同方向时，有b=μa当a与b反方向时，有b=－μa令λ=

16、μ

17、=±μ则b=λa(2)充分性：对于向量a(a≠0)、b∵有一个实数λ，使b=λa∴由实数与向量积的定义，得a与b共线，由(1)(2)可得，命题成立。定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有且只

18、有一个实数λ，使得b=λa黄冈中学网校达州分校ABDEC黄冈中学网校达州分校例4：所示，黄冈中学网校达州分校AC与AB有公共点A黄冈中学网校达州分校所示，1、练习：黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校2、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+bMC=…=a+b黄冈中学网校达州分校小结回顾一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直

19、线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD黄冈中学网校达州分校