下学期 5.3实数与向量的积2

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1、下学期5.3实数与向量的积2下学期5.3实数与向量的积2（第二课时）一．教学目标　　1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；　　2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．二．教学重点：平面向量基本定理　　教学难点：理解平面向量基本定理．三．教学具准备　　直尺、投影仪．四．教学过程　　1．设置情境　　上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任

2、一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．　　2．探索研究　　师：向量与非零向量共线的充要条件是什么？　　生：有且仅有一个实数，使得　　师：如何作出向量？　　生：在平面上任取一点，作，，则　　师：对！我们知道向量是向量与的合成，、也可以看做是由向量的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？　　平面向量基本定理：如果、123456789下一页....，。是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使　　我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．　　说明：①实数，的确定是由平面几何作图得

3、到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理．　　②对该定理重在使用．　　下面看例题　　【例1】已知向量、，求作．　　【例2】如图所示，的两条对角线相交于点，且，，用、表示上一页123456789下一页....，。、、和？　　解：在中　　∵　　　　　∴　　　　　　　　　　　说明：①这些表示方法很常用，要熟记　　②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是、，由它可以“生”成，，……．【例3】如图所示，已知的两条对角线与上一页123456789下一页....，。交于，是任意一点，求证　　证明：∵是对角线和的交点　　∴

4、，．在△中，　　同理：　　　　　　　　　　　　相加可得：　　注：本题也可以取基本向量，，，，利用三角形中线公式（向量），得两种表示方式：　　①　　②上一页123456789下一页....，。　　①＋②得证毕．　　【例4】如图所示、不共线，（），用，表示．　　解∵　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　说明：①本题是个重要题型：设为平面上任一点．　　则：、、三点共线上一页123456789下一页....，。　　或令，则、、三点共线（其中）　　②当时，常称为△的中线公式（向量式）．3．演练反馈　　（1）命题：向量与共线；命题：有且只有一

5、个实数，使；则是的（）　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件　　C．充要条件D．不充分不必要条件　　（2）已知上一页123456789下一页....，。和不共线，若与共线，则实数的值等于____________．　　（3）如图△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值．参考答案：　　（1）B　　（2）　　（3）解：（如图）设，，则，上一页123456789下一页....，。，∵、、和、、分别共线，∴存在、，使，．故，而．∴由基本定理得∴∴，即4．总结提炼　　（1）当平面内取定一组基底，后，任一向量都被、上一页123456789下一页

6、....，。惟一确定，其含义是存在惟一这数对，使，则必有且．　　（2）三点、、共线（其中且）五．板书设计上一页123456789....，。