4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（六） (2)

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1、4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（六）7/24/2021黄冈中学网校达州分校教学目标：1.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；2.掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.教学重点：三角函数最值问题的解题方法教学难点：三角函数最值问题的解题方法黄冈中学网校达州分校1。值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y=sinx,x∈R①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，

2、k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.黄冈中学网校达州分校2。单调性正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.黄冈中学网校达州分校例1求函数y=(sinx)2+2sinxco

3、sx+3(cosx)2的最小值。解:y=sin2x++=sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2,其中1,当sin(2x+)=-1时,ymin=2-一、利用三角函数的有界性二、例题解析：黄冈中学网校达州分校例2a、b是不相等的正数.求的最大值和最小值.解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).·＋asin2x＋bcos2xy2＝acos2x＋bsin2x＋2＝a＋b＋∵a≠b，(a－b)2＞0，0≤sin22x≤1∴当sin2x＝±1时即x＝(k∈Z)时，y有最大值当sin2x

4、＝0时，即x＝(k∈Z)时，y有最小值.黄冈中学网校达州分校方法总结：通过三角变换把形如asinx+bcosx的函数等价化归为y=Asin(x+)，然后根据三角函数的有界性，求出函数的最值。同时注意角的取值范围。黄冈中学网校达州分校二、利用三角函数的增减性例3在0≤x≤条件下，求y＝cos2x－sinxcosx－3sin2x的最大值和最小值.解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y＝－2sin2x－3·＝2(cos2x－sin2x)－1＝2(cos2xcos－sin2xsin)－1cos(2x＋)－1＝2∵0≤x≤≤

5、2x＋cos(2x＋)在［0，）上是减函数故当x＝0时有最大值当x＝时有最小值－1黄冈中学网校达州分校cos(2x＋)在［］上是增函数综上所述，当x＝0时，ymax＝1时，有最小值－1，当x＝时，有最大值－故当x＝时，ymin＝－2-1当x＝黄冈中学网校达州分校例4.求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最小值(0

6、2t=-a时，ymin=（a2–1)/2三、换元法黄冈中学网校达州分校方法总结：通过换元法化归利用二次函数性质求最值。同时要注意换元后新的变量的取值范围。黄冈中学网校达州分校四、求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1．注意sinx、cosx自身的范围∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1时，ymax＝3例5求函数y＝cos2x－3sinx的最大值.解：y＝cos2x－3sinx＝－sin

7、2x－3sinx＋1＝－(sinx＋)2＋解此题易忽视sinx∈［－1，1］这一范围，认为sinx＝－时，y有最大值，造成误解.黄冈中学网校达州分校2．注意条件中角的范围解：y＝－sin2x＋sinx＋1＝－(sinx－)2＋∵－≤x≤∴－≤sinx≤例6已知｜x｜≤，求函数y＝cos2x＋sinx的最小值.ymin＝－(－)2＋∴当sinx＝－时解此题注意了条件｜x｜≤，使本题正确求解，否则认为sinx＝－1时y有最小值，产生误解.黄冈中学网校达州分校例7求函数y＝sin2x＋acosx＋a－(0≤x≤)的最大值

8、.3．注意题中字母(参数)的讨论解：∵y＝1－cos2x＋cosx＋a－＝－(cosx－)2＋∴当0≤a≤2时，cosx＝，ymax＝当a＞2时，cosx＝1，ymax＝当a＜0时，cosx＝0，ymax＝解此题注意到参数a的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cosx＝时，y有最大值会产生误解.黄冈中学网校达州分校4．注意代换后参数的等价性（见例4）练习