利用齐次平衡法求GP方程的Jacobi椭圆函数解

《利用齐次平衡法求GP方程的Jacobi椭圆函数解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第29卷第2期数学理论与应用Vo1．29No．22OO9年6月MA1tlI厦A11CAI．，Il扣BORYANDAPPIICAⅡONSJun．2009利用齐次平衡法求GP方程的Jacobi椭圆函数解李兰平(湖南财经高等专科学校基础课部，长沙，410205)摘要描述玻色一爱因斯坦凝聚(BEc)的有效而方便的方程是著名的Gross—Pitaevskii(GP)方程。本文在将GP方程变换为非线性薛定谔方程(NLS)的基础上，利用齐次平衡法求出了Gross—Pitaevskii(GP)方程的一系列Jacobi椭圆函数解。关键词Gross—P

2、itaevskii方程Jacobi椭圆函数齐次平衡法SolvetheGPEquationbytheHomogeneousBalanceMethodLiLanping．(DepartmentofMathematics，HunanCollegeofFinanceandEconomics，Changsha，410205)AbstractGross—Pitaevskii(GP)isausefulequationtodipictthephysicalpropertiesofBose—Einsteincondensate(BEC)．Undert

3、hebasisoftransfomaingtheGPequationintoaNLS，aseriesofJacobiellipticfunctionsolutionofGross—Pi．taevskii(GP)equationareobtainedbythehomogeneousbalancemethod．KeywordsGross—PitaevskiiequationJacobiellipticfunctionHomogeneousbalancemethod1引言描述玻色一爱因斯坦凝聚的有效而方便的方程是著名的Gross—Pita

4、evskii(GP)方程。当原子间的散射长度与时间有关且囚禁BEC的外势也为含时的抛物线势阱时，GP方程为E3]：=一+后(￡)(，￡)一dg(t)I(，￡)I(，￡)(1．1)这里波函数，时问￡以及变量都已作了无量纲化处理。=±1对应于负的和正的原子散射长度；k(t)和g(‘)分别是描述囚禁势强度和原子相互作用强度的函数，它们都与时间有关。*吴建国教授推荐收稿日期：2O09年2月16日96数学理论与应用为了得到方程(1．1)的精确解，米用如卜变化：(，￡)=g-1／2(￡)l(t)exp[／f(t)x。](，r)式：南，2(1=一

5、一㈤一dt—(s)ds则方程(1．1)变为：++dI(，r)l(，r)=o(1．2)方程(1．2)是一个典型的非线性薛定谔方程(NLS)圳。2方程的求解下面求方程(1．2)的Jacobi椭圆函数b解。设(，r)=exp[(a++nO)u(，r)](2．1)其中口，卢为待定常数，(，r)为实函数。将方程(2．1)代入(1．2)得：+2口：0(2．2)drdL+，(，)一(。z+J8)(，)：0(2．3)“令u(，r)=(一2aTr+)=()(2．4)则方程(2．2)自然满足。再将式(2．4)代入方程(2．3)得：=擘+O72,。一(a

6、+p)聪=0‘(2．5)c，C再设M=bo+b1F()(2．6)其中b。、b为待定常数，且设F()满足常微分方程：’F：()=PF+QF2+R(2．7)这里，P、Q、R均为实常数。将方程(2．6)、(2．7)代入(2．5)中，则方程(2．5)左边化为一个关于F()的多项式，令多项式的系数为0，可得到一个非线性代数方程组：F：2Pyb1+ab；=0(2．8)F2：3ab0b=0(2．9)F：b1+3abb1一(口+)b】=0(2．10)：ab一(口+卢)b0=0(2．11)解方程(2．8)一(2．11)得：利用齐次平衡法求GP方程的J

7、acobi椭圆函数解970，6l=±√，=Q-／-t22(2．12)将(2．12)式代人(2．6)式，并利用式(2．1)，可知方程(1．2)的解可表示为：=±√F(一2口+~0)exp[i(口)+(一口)r+n。)](2．13)其中口、y、、n。为任意实常数，F()是满足方程(2．7)的解。(I)Jacobi椭圆函数F()=sn()是(2．7)式当P、Q、R取如下形式值的一个解：P=m，Q=一(1+m)，R=1(2．14)其中m是Jacobi椭圆函数的模数。将(2．14)代入(2．13)式即得方程(1．2)I~-'t"Jacobi椭

8、圆函数解：。=±√(一2口弦+，m)e印[(口一(1+m2)~2T-~X2T-I"no)](2．15)(Ⅱ)Jacobi椭圆函数F()=，ts()是(2．7)式当P、Q、R取如下形式值的一个解：P=1，Q=一(1+m)，R=／／／,。