《维波动方程推导》PPT课件

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1、应力波反射法检测基桩原理1.1基桩动测技术的发展及国内外研究现状一百年以前，动力打桩公式1865年B.deSaintVenant提出一维波动方程50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文，1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程1977年PDI公司开始生产以PDA(PileDrivingAna

2、lyzer)打桩分析仪采用波动方程程序(CasePileWave-equationAnalysisprogram/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷进行实测波形的拟合法分析。方便、快捷、一定的准确度被各国接受要求较高的人员素质、专业理论知识、丰富的工程经验缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。1.2.1一维杆的纵向波动方程一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，截面积为A，弹性模量为E，体密度为ρ。若杆变形时符合平截面假定，在杆上端施加一瞬时外力，单元受力如图所示。图中包含外力、

3、土阻力、阻尼力的作用。杆单元受力图以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得（1）（2）令，即得著名的一维波动方程（3）由材料力学知识得：将式（2）带入式（1）：1.2.2一维波动方程的解求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。作变量代换：（4）(5)(6)(7)(8)(9)将式（5）～式（8）代入式（4）对式（9）连续两次积分得到方程的通解：通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。设问题的初始位移和初始速度分别为：(11)、(12)积分（

4、13）有：（10）（11）（12）（13）（14）因此一维波动方程的定解问题的通解可以最终表示为：这一通解公式称为D`Alembert公式。可以证明该解是唯一的，而且是稳定的。（15）（16）1.2.3解的物理意义假设式（16）的第二式为零，即，当波速一定时，随着时间的增长，位移逐渐沿x轴向下传播，因此我们习惯称为f下行波。同理称为g上行波。上下行波在传播过程中，由于函数f和g都不发生变化，因此，波的形状不变，在不考虑杆周围介质的影响，其幅值也不变。前面假设杆的材质是均匀的，经过t0时刻，波形移动了c×t0的距离，波速为c×t0

5、/t0＝c，这表明波在传播中速度不变。物理现象为杆上各点，振动未传到时，处于平衡状态，振动传到时，相应点将发生位移的变化，振动穿过后，该点仍回到平衡位置。1.2.4一维波动方程的解在基桩测试中的应用1假设桩身中只有下行波（压力波为例），即则下行波引起的质点振动速度下行波引起的桩身应变为式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。（17）、（18）式中，Z＝EA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。（17）（18）（19）（20）2假设桩身中只有上行波（压力波为例），即则上行波引起的质点振动速度式中负号表示质点振动速度

6、向上为负。上行波引起的桩身应变为（21）、（22）①下行波中质点的运动方向与所受力的方向始终一致；②上行波中质点的运动方向与所受力的方程始终相反。结论：（21）（22）（23）（24）3通过计算可以分离出桩身各截面上行波和下行波的值，具体如下：将式（20）和式（24）带入式（25），即得(25)(26)4上下行波在界面或端部的反射当杆或桩的端部为自由端时，其边界条件为：将式（20）和式（24）带入式（27）得公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如

7、果下行的是压缩波，则反射的一定是拉伸波，下行的是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射波的规律与自由端类似。（25）、（28）即在杆端由于波的叠加，使杆端质点速度增加一倍。（27）（28）（29）（30）当杆或桩的端部为固定端时，其边界条件为将式（20）和式（24）带入式（31）得类似地公式（32）、（33）、（34）表示应力波到达固定端后，将产生一个与入射波相同的反射波，即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产生拉力反射波。在杆端处由于波的叠加使反力增加一倍。（31）（32）（33）（34）1.2.5基桩或杆

8、件阻抗变化引起的反射波当基桩或杆件阻抗发生突变时，如图2所示，由变阻抗处的连续条件可得：将式（20）和（24）代入式（35），可得图2阻抗变化引起的反射波（35）（36）当只有下行波通过界面时：当只有上行波通过界面时：同理可以推出（36）（36）（37）（38）