离散数学第二章谓词逻辑-2-3节

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1、2-2命题函数与量词一、命题函数1、命题函数客体在谓词表达式中可以是任意的名词等。单独一个谓词不是命题，只有当这个谓词后面紧跟具体客体后才是命题。例，设P表示“是大学生”，a:张三，b:老虎，c：桌子。则P(a)、P(b)和P(c)均表达了命题。P表示“是大学生”，x表示变元(客体变元)，则P(x)表示“x是大学生”,，称P(x)是命题函数，P(x)不是命题。命题函数命题函数分为简单命题函数与复合命题函数。定义2-2.1：简单命题函数：一个谓词，一些客体变元组成的表达式，实质是n元谓词P(x1,x2,…,xn)。0元谓词：命题函

2、数P(x1,x2,…,xn)中n=0，表示不含有客体变元的谓词，它本身就是一个命题变元。规定：若用任何具体客体去取代客体变元之后，则命题函数就变为命题。复合命题函数。将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来，构成的表达式，称之为复合命题函数。逻辑联结词┐、∧、∨、→、的意义与命题演算中的解释完全类似。n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。将命题函数→命题的两种方法1）将变元取定具体的值，如P(a),P(b)。2）将谓词量化。如(x)P(x),(x)P(x)。命题函数举例例.设S(x)表示“x学习很好”,W(x)表示“x工作

3、很好”,A(x)表示“x身体好”S(x)表示“x学习不是很好”,S(x)∧W(x)表示“x学习和工作都很好”。A(x)→(S(x)∧W(x))表示“如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好”。S(x),W(x)是简单命题函数,而S(x),S(x)W(x),A(x)→(S(x)∧W(x))是复合命题函数。2、个体域(论域)命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定名称时，才能成为一个命题。定义2-2.2个体域（论域）：在命题函数中，客体变元的取值范围称为个体域（论域）。客体变元在哪些范围内取特定的值，对是否成为命

4、题及命题的真值极有影响。例P(x):x是大学生,若x在某大学的一个班级内取,则P(x)为真。若x在某中学的一个班级内取,则P(x)为假。若x在一个剧场中的观众内取,则P(x)真假不定。个体域(论域)个体域的给定形式有两种：（1）具体给定。如：{a,b,c}（2）全总个体域/任意域。所有个体域的总和，即世间一切万物的主体。3、量词：在命题中表示客体数量的词，称之为量词。：全称量词Anyone：存在量词Exitx：客体词，称为量词的指导变元F(x)：辖域(x)F(x)(x)F(x)有些x；至少有一个x；某一些x；存在x；等等

5、。所有的x；任意的x；一切的x；每一个x；等等。读法：若x∈M（个体域）(x)F(x)读作：任意x属于M，有F(x)成立。(x)F(x)读作：存在一个x属于M，使得F(x)成立。（1）所有的老虎都要吃人；（2）每一个大学生都会说英语；（3）所有的人都长着黑头发；（4）有一些人登上过月球；（5）有一些自然数是素数。例存在一个人。M(x):x是人。(x)M(x)(x)P(x)x∈{老虎}(x)Q(x)x∈{大学生}(x)R(x)x∈{人}(x)S(x)x∈{人}(x)T(x)x∈{自然数}。P(x)：x会吃人则有：所

6、有的x，P(x)x∈{老虎}Q(x)：x会说英语则有：每一个x，Q(x)x∈{大学生}R(x)：x长着黑头发则有：所有的x，R(x)x∈{人}S(x)：x登上过月球则有：有一些x，S(x)x∈{人}T(x)：x是素数则有：有一些x，T(x)x∈{自然数}不便之处从书写上十分不便，总要特别注明个体域；无法清晰表达不同的个体域：在同一个比较复杂的句子中，对于不同命题函数中的客体可能属于不同的个体域，此时无法清晰表达；如例(1)和(4)的合取(x)P(x)∧(x)R(x)x∈{人}x∈{老虎}（1）所有的老虎都要吃人；(x)P(

7、x)（4）有一些人登上过月球；(x)R(x)不便之处(续)若个体域的注明不清楚，将造成无法确定其真值。即对于同一个n元谓词，不同的个体域有可能带来不同的真值。例如对于语句“(x)(x+6=5)”可表示为：“有一些x，使得x+6=5”。该语句在下面两种个体域下有不同的真值：(1)在实数范围内时，确有x=-1使得x+6=5，因此，(x)(x+6=5)为“真”；(2)在正整数范围内时，则找不到任何x，使得x+6=5为“真”，所以，(x)(x+6=5)为“假”。不便之处的根源因为需要额外特别标注出每个谓词的个体域所致！所有的老虎

8、都要吃人。(x)P(x)x∈{老虎}全总个体域老虎集合用谓词指出客体变元的取值范围。特性谓词新的问题出现了，U(x)如何与(x)P(x)结合才符合逻辑呢？U(x)：x是老虎x∈｛老虎｝所有的老虎都要吃人；(x)P(x)x∈{老虎}用来限定客体变元的取值范围