解半正定规划问题的基于参数化对数障碍函数的内点算法

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1、摘要解线性规划问题的具有多项式时间内点算法已显示出强大的功效和广泛的应用，研究者们试图将它推广到凸非线性规划问题上去．从上世纪九十年代中期到现在，研究的热点集中于两种凸非线性规划模型，即半正定规划和二阶锥规划问题．具有多项式时间内点算法主要应用于解大规模优化问题，并可分析算法的计算复杂性．在众多的内点算法中，基于对数(109arithm)障碍函数的内点算法是一类最为有效和最为广泛应用的内点算法．在已有的基于障碍函数的原始．对偶内点算法的研究工作中，对障碍函数的研究基本局限于对障碍函数的障碍性的分析，很少考虑障碍函数中所含参数对障碍性的影响，也没有

2、对参数作具体的分析．然而，有些数值结果显示，障碍函数中所含参数对障碍性起很大的作用，比如有限障碍函数就是一个典型的例子【5】．在本文，我们所做的工作集中在以下三个方面．首先。我们考虑对一般障碍函数的参数化问题，其目的是为了扩大障碍函数的种类．我们研究了参数化障碍函数和它的的核函数的性质，以及参数化核函数的导数性质，比较了参数化核函数的各阶导数．并分析了参数和算法复杂性的关系．进一步我们给出了参数化对数障碍函数，并根据参数化对数障碍函数设计了解半正定规划问题的原始．对偶内点算法，应用参数化对数障碍函数的性质分析了算法的复杂性，得到了一个理论迭代界，

3、这个迭代界与解线性规划问题的算法的迭代界一致．最后，我们通过数值算例阐明参数化对数障碍函数和算法复杂性的关系．数值结果表明和基于经典对数障碍的原始．对偶内点算法相比，我们的算法的迭代界与参数的不同取值有关．当参数取某个值时，算法的迭代界比经典的算法好．全文共分五章，在第一章里，我们简单介绍半正定规划问题、原始．对偶内点算法与障碍函数，以及本文的主要工作．在第二章里，我们主要讨论了参数化障碍函数和的参数化核函数的性质，以及参数和算法的关系．在第三章，我们给出了一个基于参数化对数障碍函数的解半正定规划问题的原始一对偶内点算法，分析了算法的计算复杂性．

4、在第四章给出了基于参数化障碍函数原始一内点算法的线性规划算例和基于参数化对数障碍函数的原始对．偶内点算法的半正定规划算例．第五章是结论与展望．关键词；半正定规划，原始一对偶内点算法，对数障碍函数，大步校正方法和小步校正方法ABSTRACTInterior-PointMethodhasbeenoneofmostpowerfultoolsforsolvinglinearopti-mizationproblem．Ithasattractedmanyresearcherstoextendtoresearchtotheareaofnonlinearprog

5、ramming，includingsemidefiniteoptimizationandsecond-orderconicopti-mization，twokindofconvexoptimizationproblems．Sincelateof1990s，thetremendousresearchactivityhasbeenspurredbythewideapplicationsofsemidefiniteoptimization，thedevelopmentofefficientinterior-pointalgorithmsforsemed

6、efiniteoptimizationprob-lemsaswellasthedepthandeleganceofoptimizationtheory．Amongallexitedinterior-pointalgoritlnns，theprimal-duallogarithmicbarrieralgo-rithmhastheadvantagethatitisconceptuallysimpleandalsoquiteelementaryanalysis，itisalsothebasisofa讯decisssofpolynomialtimealg

7、orithm．However。themostofre-searchfocusedonthebarrierfunctionitself,thereisnotmuchfortheparameterinvolved，alsofortherelationbetweentheparameterandthecomplexityboundofthealgorithm．Wenotedthatsomenumericalresultsshowthattheparameterscouldinfinentthebarrierpropertyforbarrierfunct

8、ion．Forexample，the缸№barrierisatypicalexample【5】．Inthisthesis，ourmajo