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1、第2讲椭圆、双曲线、抛物线1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义
2、PF1
3、+
4、PF2
5、=2a(2a>
6、F1F2
7、)
8、PF
9、=点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程（a>b>0)(a>0,b>0)y2=2px(p>0)图象几何性质范围顶点(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（c,0）轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率准线通径渐近线2.椭圆中的最值F1，F2为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有（1）
10、OP
11、∈［b,a］.(2)
12、PF1
13、∈［a-c,a+c］.（3）
14、PF
15、1
16、
17、PF2
18、∈［b2,a2］.(4)∠F1PF2≤∠F1BF2.（5）=b2tan(=∠F1PF2).（6）焦点弦以通径为最短.3.双曲线中的最值F1，F2为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有（1）
19、OP
20、≥a.（2）
21、PF1
22、≥c-a.（2）(=∠F1PF2).4.抛物线中的最值点P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有:（1）
23、PF
24、≥.（2）焦点弦AB以通径为最值，即
25、AB
26、≥2p.（3）A（m,n）为一定点，则
27、PA
28、+
29、PF
30、有最小值.5.双曲线的渐近线（1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得.（2）
31、用法：①可得或的值.②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.6.直线与圆锥曲线的位置关系（1）相离；（2）相切；（3）相交.特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个公共点.②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点.一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程例1如图所示，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.（1）求椭圆的离心率；（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤；（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是，求此时
32、椭圆的方程.思维启迪（1）从OM∥AB入手，寻找a，b，c的关系式，进而求出离心率.（2）在焦点三角形F1CF2中，用余弦定理求出cos∠F1CF2,再结合基本不等式.（3）设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则用设而不求的思路求解.（1）解设椭圆方程为(a>b>0)，则，（2）证明由椭圆定义得：
33、F1C
34、+
35、F2C
36、=2a，cos∠F1CF2===.
37、F1C
38、
39、F2C
40、≤=a2，∴cos∠F1CF2≥，∴∠F1CF2≤.（3）解设直线PQ的方程为y=-(x-c),即y=-(x-c).代入椭圆方程消去x得：,整理得：5y2--2c2=0,∴y1+y2=,y1y2=.∴（y1-y2）2
41、=.因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为.探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式；（2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是椭圆短轴的一个端点时，∠F1CF2取得最大值.变式训练1（2009·四川理，20）已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率,右准线方程为x=2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且,求直线l的方程.解（1）由条件有解得a=,c=1.∴b==1.∴所求椭圆的方程为(2)由（1）知F1（-1，0）、F2（1，0）.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1,将x=-
42、1代入椭圆方程得y=±.不妨设与题设矛盾.∴直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1).设M（x1,y1）、N（x2,y2）,联立消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.由根与系数的关系知x1+x2=从而y1+y2=k(x1+x2+2)=化简得40k4-23k2-17=0,解得k2=1或k2=-(舍).∴k=±1.∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.二、圆锥曲线中的定值与最值例2已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当∠ABC=60°
43、时,求菱形ABCD面积的最大值.思维启迪（1）根据菱形的性质及条件求解.（2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不等式知识求解.解（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.x2+3y2=4,由得4x2-6nx+3n2-4=0y=-x+n,.因为A、C在椭圆上所以Δ=-12n2+64>0，解得.设A，C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则x1+x2=,
