高等数学习题答案习题

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1、习题5−121.利用定积分定义计算由抛物线y=x+1,两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的面积.b−a解第一步:在区间[a,b]内插入n−1个分点xi=a+i(i=1,2,⋅⋅⋅,n−1),把区间[a,b]分nb−a成n个长度相等的小区间,各个小区间的长度为:Δxi=(i=1,2,⋅⋅⋅,n).nb−a第二步:在第i个小区间[xi−1,xi](i=1,2,⋅⋅⋅,n)上取右端点ξi=xi=a+i,作和nnnb−ab−a2Sn=∑f(ξi)Δxi=∑[(a+i)+]1⋅i=1i=1nnb−an2a(b−a)(b−a)222=∑[a+i+i+]1nn2i=1n2

2、(b−a)22a(b−a)n(n+)1(b−a)n(n+1)(2n+)1=[na+⋅+⋅+n]nn226n22a(b−a)(n+)1(b−a)(n+1)(2n+)1=(b−a)[a+++]1.n26nb−a第三步:令λ=max{Δx1,Δx2,⋅⋅⋅,Δxn}=,取极限得所求面积nnbS=∫af(x)dx=lim∑f(ξi)Δxiλ→0i=122a(b−a)(n+)1(b−a)(n+1)(2n+)1=lim(b−a)[a+++]1n→∞n6n2212133=(b−a)[a+a(b−a)+(b−a)+]1=(b−a)+b−a.332.利用定积分定义计算下列积分:b(1)∫x

3、dx(a

4、,⋅⋅⋅,n).于是nni12n1xn11nnn∫edx=lim∑e=lim(e+e+⋅⋅⋅+e)0n→∞i=1nn→∞n1111en1[−(en)n]en1[−e]=lim⋅=lim=e−1.n→∞n1n→∞11−enn1(−en)3.利用定积分的几何意义,说明下列等式:1(1)∫2xdx=1;012π(2)∫1−xdx=;04π(3)∫sinxdx=0;−πππ(4)∫2cosxdx=2∫2cosxdx.π0−21解(1)∫2xdx表示由直线y=2x、x轴及直线x=1所围成的面积,显然面积为1.012222(2)∫1−xdx表示由曲线y=1−x、x轴及y轴所围成的四分

5、之一圆的面积,即圆x+y=101的面积的:41212π∫1−xdx=⋅π⋅1=.044(3)由于y=sinx为奇函数,在关于原点的对称区间[−π,π]上与x轴所夹的面积的代数和为零,即π∫sinxdx=0.−ππππ(4)∫2cosxdx表示由曲线y=cosx与x轴上[−,]一段所围成的图形的面积.因为cosxπ−222π为偶函数,所以此图形关于y轴对称.因此图形面积的一半为∫2cosxdx,即0ππ∫2cosxdx=2∫2cosxdx.π0−24.水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力,已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力2大小)是水深h的函数,且有p=9⋅8h(kN/

6、m).若闸门高H=3m,宽L=2m,求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.H解建立坐标系如图.用分点xi=i(i=1,2,⋅⋅⋅,n−1)将区间[0,H]分为n分个小区间,各nH小区间的长为Δxi=(i=1,2,⋅⋅⋅,n).n在第i个小区间[xi−1,xi]上,闸门相应部分所受的水压力近似为ΔPi=9.8xil⋅Δxi.闸门所受的水压力为nnHH2n(n+)12P=lim∑8.9xi⋅LΔ⋅xi=8.9Llim∑i⋅=8.9L⋅Hlim=8.4L⋅H.n→∞i=1n→∞i=1nnn→∞2n将L=2,H=3代入上式得P=88.2(千牛).5.证明定积分性质:bb(1)∫

7、akf(x)dx=k∫af(x)dx;bb(2)∫a1⋅dx=∫adx=b−a.nnbb证明(1)∫akf(x)dx=lim∑kf(ξi)Δxi=klim∑f(ξi)Δxi=k∫af(x)dx.λ→0λ→0i=1i=1nnb(2)∫a1⋅dx=lim∑1Δ⋅xi=lim∑Δxi=lim(b−a)=b−a.λ→0λ→0λ→0i=1i=16.估计下列各积分的值:42(1)∫(x+)1dx;15π2(2)∫41(+sinx)dx;π43(3)∫1xarctanxdx;320x−x(4)∫edx.22解(1)因为当1≤x≤4时,2≤x