雷诺方程和雷诺应力详解

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1、第十章粘性流体动力学基础上一节 下一节 第四节雷诺方程和雷诺应力□□□□在第四章曾经就湍流流动的速度分布、流动特点和流动损失等作了简单的讨论。如果要知道湍流流场中的流动细节，即计算流场中点各点的流动参数，就需要建立适合于湍流流动的基本方程。本节就是要导出湍流流动的雷诺方程。□□□□从对湍流的研究可知，湍流运动中任何物理量都随时间和空间不断的变化，所以要想用方程求解这种运动的瞬时速度是非常困难的。研究表明，虽然湍流运动十分复杂，但是它仍然遵循连续介质运动的特征和一般力学规律，因此，雷诺提出用时均值概念来研究湍流运动的方法，导出了

2、以时间平均速度场为基础的雷诺时均方程。□□□□雷诺从不可压缩流体的N—S方程导出湍流平均运动方程（后人称此为雷诺方程）并引出雷诺应力的概念。之后，人们引用时均值概念导出湍流基本方程，使湍流运动的理论分析得到了很大的发展。槽流动的数值模拟10.4.1常用的时均运算关系式□□□□设A、B、C为湍流中物理量的瞬时值，为物理量的时均值，为物理量的脉动值，则具有以下的时均运算规律。（1）时均量的时均值等于原来的时均值，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.43)因为在时间平均周期T内是个定值

3、，所以其时均值仍为原来的值。（2）脉动量的时均值等于零，即(10.44)（3）瞬时物理量之和的时均值，等于各个物理量时均值之和，即=(10.45)（4）时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.46)因为在平均周期内是个定值，所以有（5）时均物理量与瞬时物理量之积的时均值等于两个时均物理量之积，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.47)同样在平均周期内是个定值，所以（6）两个瞬时物理量之积的时均值，等

4、于两个时均物理量之积与两个脉动量之积的时均值之和，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.48)推论□□□□□□□□□□□□□□□□(10.49)(7)瞬时物理量对空间坐标各阶导数的时均值，等于时均物理量对同一坐标的各阶导数，即□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.50)其中，代表任意坐标方向，如。推论：脉动量对空间坐标各阶导数的时均值等于零，即(10.51)（8）瞬时物理量对于时间导数的时均值，等于时均物理量对时间的导数，即(10.52a)在准定常的条件下，□□□□□□□□□□

5、□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.52b)10.4.2湍流运动的连续方程由于湍流流动中各物理量都具有某种统计特征的规律，所以基本方程中任一瞬间物理量都可用平均物理量和脉动物理量之和来代替，并且可以对整个方程进行时间平均的运算。在湍流运动中，瞬时运动的速度应满足粘性流体的基本方程。其连续方程为对其进行时均运算所以可压缩湍流运动的连续方程为与瞬时值的连续方程相比，多出了三个脉动量乘积的导数的时均值。□□□□对于不可压缩湍流运动，，则连续方程可化为□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(

6、10.53a)并可得到□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□（10.53b）可见，对不可压湍流运动，时均运动和脉动运动的连续方程和瞬时运动的连续方程具有相同的形式。10.4.3雷诺方程□□□□对于不可压缩粘性流动，在不考虑质量力的情况下，N—S方程具有下列形式□□□□□□□□□□□□□（10.54a）利用不可压流瞬时运动的连续方程可将式（10.54a）改写成□□□□□□□□□□□□（10.54b）然后对式（10.54b）中的第一式进行时间平均运算，则有□□□□□□□□□□□□□□（10.55）由于，应用时均物理量

7、与脉动物理量之积的时均值等于零的运算规则，即（），可得这样式（10.55）经过化简后，可表示为再应用时均运动的连续方程（10.53），上式可化为同理可得（10.56）□□□□□□（10.56）方程组（10.56）就是著名的不可压缩流体作湍流运动时的时均运动方程称为雷诺方程。□□□□将时均运动方程（10.56）和N—S方程（10.54a）相比可以看出，湍流中的应力，除了由于粘性所产生的应力外，还有由于湍流脉动运动所形成的附加应力，这些附加应力称为雷诺应力。雷诺方程与N—S方程在形式上是相同的，只不过在粘性应力项中多出了附加的湍流

8、应力项。□□□□以上导出的雷诺方程和连续方程中，除过要求解的四个变量、、和外，还有与脉动速度有关的如、等六个未知数。四个方程中有十个未知数，即方程组不封闭。要使方程组封闭，必须补充其它未知量的关系式才能够进行求解。10.4.4雷诺应力□□□□□将雷诺方程与粘性流体应力形式的动