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1、http://www.paper.edu.cn各幅图按椭球面法线投影的计算公式和结果1,211施一民,陈月梅,孙伟伟(1.同济大学测量与国土信息工程系,上海200092；2.现代工程测量国家测绘局重点实验室上海,200092；摘要：为更大幅度地减小地图投影变形,提出了按椭球面法线投影的一种新的地图投影方法。它与楔形投影一样也是以规则的经纬网格为单元，以每4个网格角点所构成的平面来切割并逼近椭球面[1]，有所不同的是,椭球面上各点投影到相应的切割平面是按照椭球面的法线方向。藉助于严密的几何关系,推导出由椭
2、球面上大地经纬度到投影平面上平面直角坐标的投影公式,由数据验证充分说明,由此所产生的各类投影变形都非常小。关键词：地图投影；投影变形；切割平面；椭球面法线1引言为了减小长度投影变形,作者在文献[1]中提出了一种新的地图投影方法:用多个连续吻合的平面图幅（等腰梯形）来切割椭球面,将各投影区域分别限定在单幅图内,,即按某一比例尺地图图幅规定的经差和纬差构成规则的经纬网格,分别对每一网格按某种纯几何方式[1]来进行投影。文献[2]采用了四种投影方式中的一种:楔形投影,亦即椭球面上同纬度的点子均以该纬线所在平面
3、与椭球短轴交点为投影中心来投影到所在的切割平面。与现有的地图投影方法相比,楔形投影的优点是能使纬线族投影为平行直线,经线族投影为向两极收敛的斜直线,且减小了最大的长度投影变形,但它并非是等角投影,角度投影变形还是略大些。投影范围既已限制在单幅图内,能否由此寻找出一种能使各类投影变形均很小的多面体[1]投影,为此,本文再探索按各点的椭球面法线方向的地图投影。2对按椭球面法线方向投影的初探将椭球面上各点沿着其法线方向投影到相应的切割平面上,它近似于中心投影，因对圆球面而言，这正是以球心为投影中心的严格的中心
4、投影。可证每个网格的东西边界经线投影为等腰梯形的两腰，一族经线映射为该平面图幅中的一族向北收敛（在北半球）的斜直线,并对称于梯形上下底中点的连线；但纬线族的投影则是接近于平行直线的向下凸的曲线。作为一种纯几何的投影方式,在此并不加上任何限制某类投影变形的条件,只是基于与此投影方式相对应的几何关系来推求由椭球面到各投影平面的投影公式。3按椭球面法线的投影公式3.1投影平面方程和法向量的表示式若在椭球面上用规则的经纬格网覆盖整个制图区域，例如对应于1：10000图分幅，网格的经纬度间隔ΔB,ΔL分别为3′4
5、5″和2′30″，文献[1]已证得4个经纬网格角点必定共面,且构成等腰梯形,将其作为各网格相应的投影平面。4个网格角点作为该平面图幅的4个图廓点,由其已知的大地经纬度就能求得该投影平面的法线向量。设西南图廓点(WS)的────────────────────────────基金项目：国家自然科学基金资助项目(40471114),地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放基金资助项目（03-04-02）作者简介：施一民(1942-),男,浙江宁波人,教授，博士生导师,E-mail:yimshi@citiz
6、.net;陈月梅(1982-),女,江苏镇江人,硕士生。E-mail:chym204@yahoo.com.cn;1http://www.paper.edu.cn大地经纬度为(B,L),其相应的三维直角坐标为SWX=NcosBcosLWSSSWY=NcosBsinL(1)WSSSW()2ZWS=NS1−esinBS该投影平面的法线向量即为平面上两个相交的向量(例如西图廓线和南图廓线向量)的矢量积,在此,这三个向量都表示在三维大地直角坐标系之中。于是即可推导出投影平面法线向量的三个分量为2V=−(NsinB
7、−NsinB)(1−e)(sinL−sinL)NcosBXNNSSWESS2V=−(NsinB−NsinB)(1−e)(sinL−sinL)NcosB(2)YNNSSEWSSV=−(NsinB−NsinB)sin(L−L)NcosBZNNSSEWSS式(2)中,B,B分别为该经纬网格南北边纬线的纬度,N,N分别相应于其卯酉线曲率半SNSN径;L,L分别为该经纬网格东西边经线的经度。WE由式(2)即可将其单位法向量表示为()TVVVTXYZv=()vvv=()3XYZ222V+V+VXYZ则投影平面上任一
8、点(X,Y,Z)都应满足以下的平面方程VX+VY+VZ+()−VX−VY−VZ=0(4)XYZXWSYWSZWS3.2投影平面和椭球面法线向量交点的三维直角坐标在经纬网格中的任一点P(BL)均按椭球面法线投影到其相应的切割平面,则作为椭////球面法线与投影平面的交点,即投影点P的三维直角坐标(X,Y,Z)必同时满足平面方程式(4)和椭球面法线方程(2)X−NcosBcosLY−NcosBsinLZ−N1−esinB===t(5)cosBc
