非线性椭圆问题的瀑布型多重网格法

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1、湖南大学硕士学位论文非线性椭圆问题的瀑布型多重网格法姓名：祝树金申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：周叔子2002.3.1摘要r514303瀑布型多重网格法是求解大型边值问题的一种有效的迭代解法，其主要优点是不要求粗网格校正，故又称单步多重网格法。本文基于两网格离散技巧，对二阶非线性椭圆边值问题提出了多重网格线性化算法和一类新型的瀑布型多重网格法。文中分固定网格层数和任意网格层数两种情况分析了算法的收敛性，并给出了相应的运算量估计。在固定网格层数情形下，我们得到了多重网格线性化算法的超收敛结果。另一方面，采用传统迭代子和共轭梯度法作为光滑子，我们证明了瀑布型多重网格法对一、二维非线

2、性椭圆边值问题，在能量范数下，均可获得最优收敛阶。在任意网格层数情形下，我们使用对偶论证技巧，证明了瀑布型多重网格法对二维问题具有拟最优性。这样，我们使用瀑布型多重网格法求解非线性椭圆问题时，可以保证其运算量与求解线性问题的运算量是相当的，数值实验也显示了该算法的有效性。关键词：非线性椭圆问题瀑布型多重网格法两网格方法固定网格层数任意网格层数ABSTRACTThecascadicmultigridmethodhasbeenshowntobeoneofthemostefficientiterativetechniquesforsolvJnglargeboundaryvalueproblem

3、s，themainadvantageofwhichiscoarse—grid—correctionfree，andasaresultitcanbeviewedasaone—waymultigridmethod．Inthispaper，basedonatwo—gridapproachamultilevellinearizationapproachandanewcascadicmultigridmethodisproposedforthesecondordernonlineare11ipticboundary*alueproblems．Weprovidetheerroranalysisand

4、thecomputationcomplexityofthealgorithmsjncludingthecaseofthefixedgrid1evelandthecaseofthearbitrarygridlevel．Whenthenumberofgridlevelisfixed，asupereonvergenceresultforthemultilevellinearizationalgorithmisestablished．Ontheotherhand，withtraditionaliterationsandtheconjugategradient(CG)assmoothers，wec

5、anshowtheoptimalconvergencerateofthecascadicmethodinenergynormforl—Dand2-Dcases．Whenthemeshlevelisarbitrary，weuseadualityargumentandobtainthequasi—optimalityofthealgorithmonlyfor2-Dproblems．Thuswhenwesolvenonlinearellipticproblemswiththisalgorithm，thecomplexityforlinearandnonlinearproblemsisessen

6、tiallYequal．Finallythenumericalexperimentsalsoshowtheeffectivenessofthemethod．Keywords：NonlinearellipticproblemsCascadicmultigridmethodTwo-gridapproachFixedgridlevelArbitrarygridlevel．非线性椭圆问题的瀑布型多重网格法硕士生姓名：祝树‘金指导教师姓名、职称：周叔子教授第一章引言瀑布型多重网格法是多重网格法中的一类，主要优点在于不要求粗网格校正，故又称单步多重网格法。本文基于两网格离散技巧，构造瀑布型多重网格法

7、，应用于求解非线性椭圆边值问题，得到了能量范数下的拟最优性。第二章问题离散与算法、本章给出了一些定义及约定。考虑以下的二阶非线性椭圆问题：r@@∥Ⅳ咖八t篙二：三@z，假设口(墨“)，，(z，“)为适当光滑函数，当0w一Ⅳ8抽≤K(Ⅳ为正常数，后=0,1)，有嘶≥口G，w)≥％>0，并设(纠)膏难～懈“∈H：(Q)n降Z，(f冷(占>o)．瀑布型多重网格算法：步1解非线性问题A(uo；uo，V)+(厂(x，Ⅳo)，v)=0Vv∈％，