曲面光滑拼接中的剪裁平面的确定

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1、原创性声明Y'`.}52,61S,本人声明:所呈交的硕士学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签各王材-云日期:年月日关于论文使用授权的说明本人同意学校有权保留并向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论文被查阅和借阅.同意学校及国家有关机构可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.论文作者签名:王撼

2、专指导教”签“:gf4功日期:日期提要在悠式代数曲面的光滑拼接问题中，知何确定剪裁平面，使得光滑拼接曲面存在，是一个具有重要实际应用意义的问题.本文米用符号计葬方法，利用控制曲面存在和GC'拼接曲面的存在代数条件，以剪裁平面定义多项式的系数为未知元，我们建立了相应的井号多项式才程组.借助于井号计琴软件Maple我们求出了这些方程组的符号解.利用这些结果，在实际应用中，可以通过剪裁平面的选择调整，求得两个不可约二次曲面的光滑拼接曲面.绪论计葬机辅助设计(即CAGD)是计茸机科学与技术的一个重要研究领域，在航天、机械制造等诸多领域有广泛的应用.随着计算机软硬件技

3、术的飞速发展，CAGD的研究也越来越受到人们的重视，并且其研究内容更加广泛，进展迅速.在CAGD中，几何造型是其基本问题之一，在几何造型中通常是以低次代数曲面为基本单元，通过它们之间的光滑拼接，实现所需的几何造型.这样一来，曲面拼接的数学原理就成为几何造型的理论基础.从数学角度看，曲面拼接问题是典型的代数几何问题，但由于古典代数几何缺乏构造性理论，早期关于曲面拼接的研究主要是利用近似方法，关于曲面拼接的理论研究多借助于多元擂值与逼近理论加以处理，所以，仅能对若干特珠问题得到一些结果.实际上，如果不利用构造性的代数几何理论，多元播值理论也是不完整的，更不用说利

4、用其解决CAGD中的问题，在应用中常常遇到很多困难.近三十年来，构适性的代数几何有了突破性进展，人们开始用代数方法研究曲面拼接问题，相应地建立了颇为完整的数学理论.理论上，Groebner基的发现及其在理想论及模论中的应用，为构造性代数几何提供了理论基础.其次，Groebner基是可算的，因而它已原则上给出了相关问题的耳法.然而，由于多元、高次的代数几何问题的计算复杂度特别高，因此实际的计算实现还需进一步研究与开发.或者说，与数值计算的理论与葬法比较，符号计算的理论与算法的研究才刚刚起步由于这些原因，直接应用现有的方法(如Groebner基方法，吴文俊方法)

5、来解决CAGD中的问题，贝，1显得计葬复杂度过高，难于应用.因此针对曲面拼接问题，研究开发有效的代数葬法是当前研究的热门课题之一，1989年，J.Warren把曲面拼接问题转化为求理怨交的最低次数成员问题，并给出了简单的算例.1993年吴文俊利用其创立的特征列方法(即吴方法)，把这类问题化成多项式方程组的不可约升列的计算，并且成功的证明了两个轴相互垂直且半径分别为:;，::的圆管，当截平面分别垂直于二轴时，若截距dial:与半径:1,r2满足关系式r卜或=，卜雌时，则存在三次曲面，在截平面上分别与给定圆管拼接，并且在截口处除有限卢、外切平面也相等，即所谓GC

6、'拼接.但是将吴方法用于处理一般曲面拼接问题时，仍显得计算量过大，难于在实际问题中应用.自1994年起，吉林大学计算机代数研究组一直致力于曲面拼接算法及相应理论的研究，得到了一系列理论结果.对于两个或者多个二次不可约隐定义代数曲面，研究了它们在平面截口处存在连续拼接曲面和光滑拼接曲面的条件.这些条件是利用二次曲面定义多项式和平面定义一次式的系数来描述的.当二次曲面和截平面给定时，利用这些条件可以很容易的判断是否存在相应的拼接曲面，并给出拼接曲面的定义多项式.在一些特殊待形，例如二次曲面的轴与剪栽平面垂直时，可以选择截平面，或者说调整平面多项式的系数，使得判别

7、方程组得以满足.这样就可以达到通过选择截平面使得拼接曲面存在，详见[Ill.对于一般情形，这些结果就很难直接用来选择平面以使拼接曲面存在.本文在雷娜的博士学位论文的理论墓拙上，利用其两个二次曲面光滑拼解条件，视判别条件为以二次曲面定义多项式系数为参数，以平面定义一次式系数为未知数的多项式方程组，来求取平面定义一次式.由于这些方程组实际上是含有参系数的多项式方程组，其解也是参数形式的，我们利用符号计早软件MAPLE来求解该方程组.但该方程组关于未定元的次数较高，所以直接求解该方程组是困难的.我们选择未定元的若干个多项式作为中间未定元，先求解关于中间未定元的方程

8、组，然后再求解未定元，这样就将一个高次的方程组化成了